cours/groupe.md

sr-due, sr-interval, sr-ease

sr-due	sr-interval	sr-ease
2023-08-06	365	346

up::structure algébrique #maths/algèbre

[!definition] groupe Un ensemble G muni d'une loi de composition interne * est un groupe ssi :

• La loi * est associativité
• G possède un élément neutre pour *
• Tout élément de G possède un éléments inversibles par * ^definition

[!definition] groupe Un groupe est la donnée d'un ensemble non vide G et d'une loi de composition interne * tels que :

• * est associativité
  • \forall (a, b, c) \in G^{3}, \quad a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c
• G admet un élément neutre pour *
  • \exists e \in G, \quad \forall g \in G, \quad e*g=g*e=g
  • on montre qu'il est unique
• tout élément de G possède un inverse pour *
  • \forall g \in G, \quad \exists h \in G, \quad g*h = h*g = e (l'élément neutre)
  • on montre qu'il est unique ^definition-formelle

Propriétés

• Un groupe n'est jamais vide

  • car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre

• Il y a un unique élément neutre, que l'on note e_{G}

• Chaque élément possède un unique éléments inversibles

  • l'inverse de g est noté g^{-1}

• Si a et b commutent, alors a^{-1} et b^{-1} commutent aussi (c.a.d. a * b = b*a \implies a^{-1} * b^{-1} = b^{-1}*a^{-1})

• Les équivalences suivantes sont véfifiées :

  • a*x = a*y \iff x=y
  • x*a = y*a \iff x = y
  • a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b
  • x*a=b \iff x=b*a^{-1}

• L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie : a^{*n} ou a^n

  • On pose a^{*0}=e
  • On note (a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)
  • Alors: (a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}

[!info] Inverse d'un produit d'éléments

• pour g_1, g_2, \dots, g_{n-1}, g_{n} \in G, on a (g_1*g_2*\cdots*g_{n-1}*g_{n})^{-1} = g_{n}^{-1}*g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_2^{-1}*g_1^{-1}
• [!] il faut bien inverser l'ordre des éléments

[!démonstration]- Démonstration Par réccurence sur n \in \mathbb{N}^{*}

1. Initialisation On veut monter que g_1^{-1} = g_1^{-1}. C'est évident.
2. Hérédité On suppose la propriété vraie pour un n-1 \in \mathbb{N}^{*} Pour g_1, \dots, g_{n} \in G, on a : $$\begin{align} (g_1*\cdotsg_{n})(g_{n}^{-1}\cdotsg_1^{-1}) &= g_1*\cdotsg_{n-1}\underbrace{g_{n}g_{n}^{-1}}{e{G}} * g_{n-1}^{-1} \cdotsg_1^{-1} & \text{ par associativité} \ &= (g_1\cdotsg_{n-1})e_{G}(g_{n-1}^{-1}\cdotsg_1^{-1}) \ &= (g_1\cdotsg_{n-1})(g_{n-1}^{-1}\cdotsg_1^{-1}) \ &= e_{G } & \text{par hypothèse de récurrence} \end{align}

Exemples

[!smallquery]+ Sous-notes de $= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")

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