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sr-due: 2022-10-28
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sr-interval: 83
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sr-ease: 212
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aliases:
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- continue
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up::[[fonction]]
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#maths/analyse
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> [!definition] [[fonction continue]]
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> Soient $(X, d_{x})$ et $(Y, d_{y})$ deux [[espace métrique|espaces métriques]]
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> Soit $f: X \to Y$ une [[application]]
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> Soit $a \in X$
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> On dit que $f$ est **continue en $a$** si :
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> $\exists \varepsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon$
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^definition
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- i On note $\mathcal{C}(E, F)$ l'[[ensemble des fonctions continues]] de $E \to F$
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> [!definition] Fonction continue dans $\mathbb{R}$
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> Soit $I \subset \mathbb{R}$
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> Soit $f: I \to R$
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> Soit $a \in I$
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> - $f$ est **continue en $a$** ssi :
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> - $\forall \varepsilon>0, \exists\eta > 0, \forall x\in I, (|x-a| < \eta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon)$
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> - $f$ est **continue sur $I$** ssi :
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> - $\forall x \in I, \forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall y \in I, |x-y| \leq \eta \implies |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon$
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>
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> - I $f$ est continue en $a$ si la [[limite]] de $f$ en $a$ est égale à $f(a)$
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^e9fb87
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Soient $(X, d_{x})$ et $(Y, d_{y})$ deux [[espace métrique|espaces métriques]]
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> Soit $f: X \to Y$ une [[application]]
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> Soit $a \in X$
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> On a équivalence entre :
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> - $f$ continue en $a$
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> - $\forall (x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$ suite convergente vers $a$, $\lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{n}) = f(a)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - supposons $f$ continue en $a$
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> > Soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $a$
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> > On veut montrer que $\lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{n}) = f(a)$, donc que :
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> > $\forall \varepsilon>0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$
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> > On sait que $f$ est continue en $a$, donc qu'il existe $\eta >0$ tel que :
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> > $\forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon \quad (1)$
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> > mais on sait aussi que $x_{n}\to a$
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> > En appliquant la propriété (1) à $x = x_{n}$, on sait qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N,\quad d_{x}(x_{n}, a) < \eta$
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> > Donc $\forall n \geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$
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> > $\varepsilon$ étant quelconque, on a montré que $\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad d(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$
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> > c'est-à-dire $f(x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty} f(a)$
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> >
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> > - Pour montrer la réciproque, on va travailler par contraposée. On cherche alors à montrer :
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> > $f$ n'est pas continue en $a$ $\implies$ il existe une suite $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge vers $a$ mais telle que $f(x_{n}) \centernot{\xrightarrow{n \to \infty}} f(a)$
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> > $f$ n'est pas continue en $a \iff \exists \varepsilon>0,\quad \forall \eta>0,\quad \exists x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \wedge d_{y}(f(x), f(a)) \geq \varepsilon$
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> > Pour un tel $\varepsilon>0$, prenons :
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> > - $\eta = \frac{1}{n+1} \mid_{n \in \mathbb{N}}$
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> > - $x_{n} \in X$ tel que $\begin{cases} d_{x}(x_{n}, a) < \frac{1}{n+1} \\ d_{y}(f(x_{n}), f(a))\geq \varepsilon \end{cases}$
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> > On a $d_{x}(x_{n}, a) \xrightarrow{n \to \infty} 0$, donc $x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} a$
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> > Mais $f(x_{n}) \centernot{\xrightarrow{n \to \infty}} f(a)$, car sinon il existerait $N\in\mathbb{N}$ tel que $\forall n\geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a))\leq \varepsilon$, ce qui est impossible.
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> >
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> >
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> [!proposition]+
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> On a équivalence entre :
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> 1. $f$ est continue
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> 2. $\forall V$ [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $Y,\quad f^{-1}(V)$ est ouvert dans $X$
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> 3. $\forall F$ [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] de $Y,\quad f^{-1}(F)$ est fermé de $X$
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>
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> - ! $f(V)$ n'est pas nécessairement ouvert, et $f(F)$ n'est pas nécessairement fermé
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - 2. $\implies$ 3.
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> > Si $F$ est un fermé de $Y$, alors :
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> > $Y \setminus F$ est un ouvert de $Y$
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> > donc $f^{-1}(Y \setminus F)$ est un ouvert de $X$
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> > or, $f^{-1}(F) = X \setminus \underbrace{f^{-1}(Y\setminus F)}_{\text{ouvert}}$
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> > donc $f^{-1}(F)$ est un fermé de $X$
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> > - 3. $\implies$ 2.
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> > On procède de la même manière que pour le point précédent
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> > - 1. $\implies$ 2.
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> > Soit $V$ ouvert de $Y$
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> > - Si $V = \emptyset$, alors $f^{-1}(V) = \emptyset$ est un ouvert de $X$
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> > - Si $V \neq \emptyset$, alors soit $a \in f^{-1}(V)$ quelconque, comme $V$ est ouvert, $\exists \varepsilon>0,\quad B_{y}(f(a), \varepsilon) \subset V$
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> > Mais comme $f$ est continue en $a$, il existe $\eta>0$ tel que $\forall x \in X,\quad d(x, a) < \eta \implies d(f(x), f(a)) < \varepsilon$, c'est-à-dire :
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> > $\exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad x \in B_{X}(a, \eta) \implies f(x) \in B(Y)(f(a), \varepsilon)$
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> > autrement dit $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in B_{Y}(f(a), \varepsilon)$
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> > donc $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in V$
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> > et donc $B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(V)$
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> > On a montré que :
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> > $\forall a \in f^{-1}(V),\quad \exists \eta >0,\quad B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(V)$
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> > c'est-à-dire que $f^{-1}(V)$ est ouvert.
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> > - 2. $\implies$ 1.
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> > Soient $a \in X$ et $\varepsilon>0$ quelconques
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> > $B_{Y}(f(a), \varepsilon)$ est un ouvert de $Y$
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> > $f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))$ est un ouvert de $X$
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> > En particulier, $\exists \eta>0,\quad B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))$
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> > cela signifie que $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in B_{Y}(f(a), \varepsilon)$
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> > soit que $\forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{Y}(f(x), f(a)) < \varepsilon$
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> > Comme $\varepsilon$ et $a$ sont quelconques, on a montré que $f$ est continue.
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>
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> > [!corollaire] Corollaire
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> > Si $f: X \to Y$ et $g: Y \to Z$ sont deux applications continues, alors $g \circ f$ est continue.
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> > - I si $f$ est continue en $a \in X$ et $g$ est continue en $f(a)$, alors $(g \circ f)$ est continue en $a$
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> >
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> > > [!démonstration]- Démonstration
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> > > En effet, pour n'importe quel ouvert $V$ de $Z$
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> > > $g^{-1}(V)$ est un ouvert de $Y$ car $g$ est continue
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> > > $(g \circ f)^{-1}(V) = f^{-1}(g^{-1}(V))$ est un ouvert de $X$ car $f$ est continue
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> > > Donc, pour n'importe quel ouvert $V$ de $Z$ :
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> > > $(g \circ f)^{-1}(V)$ est ouvert, c'est-à-dire que $g \circ f$ est continue
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## Sur les applications linéaires
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[[application linéaire continue]]
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# Exemples
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