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#maths/algèbre #flashcards/maths/algèbre
Structures
propriétés d'un semi groupe ?? une loi de composition interne et associative
propriétés d'un groupe ?? une loi de composition interne et associative Il existe un élément neutre Tous les éléments ont un symétrique
propriétés d'un monoïde ?? une loi de composition interne et associative Il existe un élément neutre
l'ordre d'un groupe est... ?? le nombre d'éléments de son ensemble sous-jacent (pour un groupe)
l'ordre d'un élément a d'un groupe est...
??
le plus petit nombre n tel que a^{*n}=a
propriétés d'un espace vectoriel
??
(E, +, \cdot) tel que :
(E, +)est un groupe abélien- loi de composition interne
- commutativité
- un élément neutre
- tous les éléments sont éléments inversibles
\cdotest distributivité sur+
sous espace vectoriel ?
F \subset E0_{E} \in F\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda u + v \in F(stable par combinaison linéaire)
propriétés d'un espace affine
?
Soit E un espace vectoriel
\mathcal{E} est un espace affine ssi :
\forall (A, B) \in \mathcal{E}^{2}, \quad \overrightarrow{AB} \in E- toute paire de point forme un vecteur de
E
- toute paire de point forme un vecteur de
\forall (A, B)\in \mathcal{E}^{2}, \quad \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}- inverser les points oppose le vecteur
\forall (A, B, C)\in \mathcal{E}^{3}, \quad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\forall O \in \mathcal{E}, \quad \forall v \in E, \quad \exists!A \in E, \quad \overrightarrow{OA} = \vec{v}- pour toute translation, il existe une image unique pour chaque point
espace affine engendré par La famille de points (\mathcal{A}_{i})
Aff(\mathcal{A})
?
Plus petit espace affine contenant tout les points d'une famille de points (\mathcal{A}_{i})
\begin{align} Aff(\mathcal{A}) &= \mathcal{A}_0+Vect(\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_0M} \mid M \in \mathcal{A} \}) \\ &= \mathcal{A}_0 + Vect(\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_1}, \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_2}, \dots, \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_{k}} \}) \end{align}
Aff(\mathcal{A}) se construit avec une origine dans \mathcal{A}, et avec toutes les translations engendrées par la famille des vecteurs \{ \overrightarrow{\mathcal{A}_{0}M} \mid M \in \mathcal{A} \}
direction d'un espace affine \mathcal{E}
??
Soit \mathcal{E} un espace affine
l'ensemble \{ \overrightarrow{AB} \mid (A, B) \in \mathcal{E}^{2} \}
théorème du rang
??
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie
Soit f : E \to F
on a :
\boxed{\dim(\mathrm{Im}(f)) + \dim(\ker(f)) = \dim(E)}
Montrer que F est un sous espace vectoriel de E
?
F \subset E\vec{0}_{E} \in FFest stable par combinaisons linéaires
Somme d'espaces vectoriels E+F
?
E + F = \{ e + f \mid e \in E \wedge f \in F \}
Théorème des bases incomplètes
??
Soit E un espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel finie
Soit \mathcal{F} une famille de vecteurs libre de vecteurs de E.
On peut toujours ajouter un nombre fini de vecteurs à \mathcal{F} pour qu'elle devienne une base de E
(Ces vecteurs ajoutés rendent \mathcal{F} famille de vecteurs génératrice )
Espace préhilbertien réel
??
Un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, muni d'une forme bilinéaire \varphi, où :
- forme bilinéaire symétrique :
\varphi(x, y) = \varphi(y, x) - forme bilinéaire définie :
\varphi(x, x) = 0 \iff x = \vec{0} - forme bilinéaire positive :
\varphi(x, x) \geq 0
groupe monogène ::: groupe engendré par un seul élément
groupe cyclique ::: groupe groupe monogène et fini
Applications
application bilinéaire
?
Application f: E^{2} \to \mathbf{K} telle que :
f(( \textcolor{green}{a_{1}}\textcolor{royalblue}{u_{1}} + \textcolor{orange}{a_{2}}\textcolor{royalblue}{u_{2}}; v )) = \textcolor{green}{a_{1}}f((\textcolor{royalblue}{u_{1}}; v)) + \textcolor{orange}{a_{2}}f((\textcolor{royalblue}{u_{2}}; v))f(( u; \textcolor{green}{a_{1}}\textcolor{royalblue}{v_{1}} + \textcolor{orange}{a_{2}}\textcolor{royalblue}{v_{2}} )) = \textcolor{green}{a_{1}}f((u;\textcolor{royalblue}{v_{1}})) + \textcolor{orange}{a_{2}}f((u;\textcolor{royalblue}{v_{2}}))
application symétrique
??
Application f : E^{2} \to \mathbf{K} telle que
\forall (u, v) \in E^{2}, \quad f((u;v)) = f((v;u))
Applications bilinéaires
Définition d'une norme
??
Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel où \mathbf{K} admet une valeur absolue
- espace séparé :
\forall x \in \mathbf{E}, \quad \mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0_{E}- la réciproque (logique) est vraie aussi
- absolue application homogène :
\forall (\lambda, x) \in K \times E, \quad \mathcal{N}(\lambda x) = |\lambda|\mathcal{N}(x) - inégalité triangulaire (application sous-additive) :
\forall (x, y) \in \mathbf{E}^{2}, \quad \mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)
Soit b une forme bilinéaire de matrice B,
exprimer b(x, y) sous forme matricielle
?
b(x, y) = \,^T\!x \cdot B \cdot y
Définition d'un produit scalaire ?? forme bilinéaire forme bilinéaire symétrique forme bilinéaire définie forme bilinéaire positive
Endomorphismes
Définition d'un endomorphisme ?? morphisme de groupes d'un espace vectoriel dans lui-même
endomorphisme symétrique
??
\langle \varphi(u), v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle
Sur \mathbb{R}, cela est équivalent à dire que la matrice de l'endomorphisme est symétrique
endomorphisme adjoint d'un endomorphisme f
??
f^{*} tel que \langle f^{*}(u), v \rangle = \langle u, f(v) \rangle
matrice adjointe de A
??
Notée A^{*}
Sur, \mathbb{C}, la transconjuguée : A^{*} = \,^T \,\overline{A}
endomorphisme normal
??
endomorphisme f tel que f commute avec son endomorphisme adjoint:
f \circ f^{*} = f^{*} \circ f
spectre d'un endomorphisme linéaire ?? ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme
- #task rédiger flashcards ✅ 2023-05-15
- démonstration de l'inégalité triangulaire
- inégalité de cauchy schwartz
- cas d'égalité
- définition d'espace préhilbertien --> structures
- définition de orthogonal d'un sous espace vectoriel --> structures
- endomorphisme
- adjacent et matrice adjacente
Matrices
Matrice de rotation en 2D (angle \theta) ::: \large\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}
Matrice de symétrie en 2D (angle \theta) ::: \large \begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{pmatrix}
direction d'un espace affine ::: Ensemble des vecteurs formés par deux points d'un espace affine
\{ \overrightarrow{AB} \mid (A, B) \in \mathcal{E}^{2} \}
espace affine engendré par une famille de points \mathcal{A}
?
plus petit espace affine contenant tous les points de \mathcal{A}
C'est l'intersection de tous les espaces affines contenant \mathcal{A}
valeur propre d'une matrice M
??
Soit M une matrice
un scalaire \lambda tel que :
il existe un vecteur u \neq \vec{0} tel que Mu = \lambda u
valeur propre d'une application linéaire \varphi
??
Soit \varphi une application linéaire
un scalaire \lambda tel que :
il existe un vecteur u \neq \vec{0} tel que \varphi(u) = \lambda u
vecteur propre d'une application linéaire \varphi
??
Soit \varphi une application linéaire
un vecteur u \neq \vec{0} tel que :
il existe un scalaire \lambda tel que \varphi(u) = \lambda u
vecteur propre d'une matrice M
??
Soit M une matrice
un vecteur u \neq \vec{0} tel que :
il existe un scalaire \lambda tel que Mu = \lambda u
comment diagonaliser une matrice
?
Soit M une matrice
- calculer les valeur propre d'une matrice
\lambda- ma matrice diagonale dont les coefficients sont ces valeurs propres est la matrice diagonalisée,
D - [!] la matrice est diagonalisable seulement si il y à assez de valeurs propres distinctes (on veut
\dim D = \dim M)
- ma matrice diagonale dont les coefficients sont ces valeurs propres est la matrice diagonalisée,
- pour chaque valeur propre d'une matrice
- calculer sous espace propre à cette valeur propre d'une matrice
- calculer la base d'un espace vectoriel de ce sous espace vectoriel
- la concaténation des vecteurs des base d'un espace vectoriel de tous les sous espace propre forme une matrice
P- [!] il faut mettre ces vecteurs dans le même ordre que les valeurs propres dans
D - cette matrice est la matrice de passage qui va de
MàD:A = PDP^{-1}
- [!] il faut mettre ces vecteurs dans le même ordre que les valeurs propres dans
trace d'une matrice M (\mathrm{Tr}(M))
??
soit M une matrice n\times n
la somme des coefficients diagonaux de M
\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} M_{k,k}
matrice orthogonale
??
Matrice M telle que ^TM = M^{-1}
(on montre qu'elle est composée de vecteurs unitaires)
matrice symétrique
??
Matrice M telle que M = \,^T M
matrice antisymétrique
??
Matrice M telle que \,^T M = -M
Formule pour l'inverse d'une matrice
?
M^{-1} = \dfrac{1}{\det M} \times \,^T \mathrm{comat}(M)
matrice diagonale
??
Matrice M telle que i \neq j \implies M_{i,j} = 0
Seules la diagonale est non-nulle
Bases
base duale d'une famille de formes linéaires
- #todo: pour l'algèbre linéaire