37 lines
1.6 KiB
Markdown
37 lines
1.6 KiB
Markdown
up:: [[norme]]
|
|
title:: "$d(x, y) = \|y - x\|$"
|
|
#maths/algèbre
|
|
|
|
> [!definition] Distance
|
|
> Soit $X$ un ensemble
|
|
> Une application $d : X \times X \to \mathbb{R}$ est appelée **distance** ssi :
|
|
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
|
|
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
|
|
> - $\forall x \in X, \quad d(x, x) = 0$
|
|
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
|
|
> - $\forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
|
|
^definition
|
|
|
|
> [!definition] distance (définition à partir d'une [[norme]])
|
|
> Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
|
|
> Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
|
|
> On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
|
|
> $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
|
|
^definition-depuis-une-norme
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!info] Equivalence entre distance et norme
|
|
> Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
|
|
> $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
|
|
> est une distance
|
|
> [[démonstration qu'une norme peut former une distance|démonstration]]
|
|
|
|
# Exemples
|
|
|
|
> [!example]- Exemple
|
|
> Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$
|
|
> ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
|
|
> On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$
|
|
|