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up:: cours L3 #maths/topologie

[!idea] But du cours On cherche à définir la notion de continuité pour les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension d'un espace vectoriel infinie (car on a pas de problèmes entre espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel finie)

[!hint] Ce cours est à la base :

• du calcul différentiel (M1 : analyse complexe)
• de l'analyse fonctionnelle
  • étude des espaces de fonctions (par exemple \mathscr{C}^{h}\left( [0;1], \mathbb{R} \right))
  • équations différentielles
• Intégration (espaces L^{p}, avec L pour Lebesgue)
  • permet de définir les probabilités

1 - espace métrique et espaces vectoriels normés

!distance#^definition

2 - topologie des espace métrique

• espace métrique

  • suite convergente
    • démonstration utilisant la seconde inégalité triangulaire
  • boule
    • boule fermée
    • boule ouverte
    • voisinage dans un espace métrique
  • partie ouverte d'un espace métrique
  • partie fermée d'un espace métrique
  • partie bornée
  • adhérence d'un espace métrique
  • intérieur d'un espace métrique

• espace mesuré

  • fonction mesurable
  • mesure positive d'une application
    • mesure de Lebesgue
    • mesure de probabilité
    • mesure discrète
      • mesure de Bernoulli
      • mesure de Dirac
      • mesure de Bernoulli
    • mesure finie
    • mesure image
    • mesure trace

3 - ...

4 - Construction de l'intégrale de Lesbegue sur (E, \mathcal{A}, \mu)

4.1 - Fonctions étagées positives

• fonction étagée positive

4.2 - Fonctions mesurables positives

• théorème des valeurs extrêmes

Chapitre 3: continuité

• fonction continue

Chapitre 4 : compacité

• espace métrique compact
• recouvrement d'ensemble