Exemples de structures communes

[!example]- \mathbb{N} nombres entiers naturels (\mathbb{N}, +)

\forall m, n \in \mathbb{N}, \quad m+n \in \mathbb{N}

\forall m, n \in \mathbb{N}, \quad m+n = n+m

m+0 = m (0 est un élément neutre)

si m \geq 1, l'équation m+a = 0 n'a pas de solution a \in \mathbb{N}

[!example]- \mathbb{Z} nombres relatifs (\mathbb{Z}, +)

\forall m,n \in \mathbb{Z}, \quad m+n \in \mathbb{Z}

\forall m \in \mathbb{Z}, m+0 = m

\forall m \in \mathbb{Z}, \quad \exists! a \in \mathbb{Z}, \quad m+a = 0

[!example]- \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)

\mathbb{Z} / n\mathbb{Z} = \left\{ \overline{0}, \overline{1}, \dots, \overline{n-1} \right\}

où \overline{a} + \overline{b} := \begin{cases} \overline{a+b} \quad \text{si } a+b < n\\ \overline{a+b - n} \quad \text{sinon}\end{cases} (autrement dit : \overline{a+b} = \overline{r} où r \in [\![0; n-1]\!] est le reste de la division euclidienne de a+b par n)

\overline{a} + \overline{0} = \overline{a}

soit \overline{a} fixé. avec b := n-a on a \overline{a} + \overline{b} = \overline{0}

[!example]- (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}) ^{\times} (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times } := \left\{ \overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \;\Big| k \in {0, \dots, n-1} \wedge \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 \quad (k \text{ est premier avec } n) \right\}

sous ensemble de \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}

[!] non stable sous la loi + :

\overline{1} + \overline{n-1} = \overline{0} \notin (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times}

stable sous la loi \times :

\overline{k} \times \overline{l} := \overline{kl} (reste de k\cdot l par n)

si p est un diviseur premier commun à k\cdot l et n, alors p|k l donc p|k \vee p|l (lemme d'Euclide) donc (p|k \wedge p|n) \vee (p|l \wedge p|n), or c'est absurde, car on sait que k et l sont premiers avec n. p n'existe donc pas, et k \cdot l est bien premier avec n.

\overline{k} \times \overline{l} = \overline{l} \times \overline{k}

\overline{k} \times \overline{1} = \overline{k}

[!example]- \mathbb{R}^{*} ensemble des réels non nuls (\mathbb{R}^{*}, \times)

\forall x, y \in \mathbb{R}^{*},

x \times y \in \mathbb{R}

x \times y = y \times x

x \times 1 = x

si z = \frac{1}{x} alors z \in \mathbb{R}^{*} et x \times z = 1

[!example]- \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) ensemble des matrices sur \mathbb{R} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) (matrices n \times n)

(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), +) :

\forall M, N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) :

M+N = N+M

M + 0 = M

avec P := -M, on a P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \text{ et } M + P = 0

(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \times) :

[!] \exists M, N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad M\times N \neq N \times M (si n \geq 2)

\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad M \times Id_{n} = M = Id_{n}\times M

\exists M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \forall N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad M \times N \neq Id_{n} (toutes les matrices ne sont pas inverse d'une matrice)

[!example]- (\mathbb{Z}^{*}, \times) (n'est pas un groupe) (\mathbb{Z}^{*, \times}) n'est pas un groupe Il y à bien un élément neutre : \forall n \in \mathbb{Z}^{*}, \quad n \times 1 = n Mais il existe des éléments sans inverse dans \mathbb{Z}^{*} : 2 n'a pas d'inverse, puisque \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}^{*}

[!example]- (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +) (groupe abélien) (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, +) est un groupe abélien le neutre est \overline{0} (\overline{k} + \overline{0} = \overline{k}) l'inverse de \overline{k} est \overline{-k}

[!example]- (\mathfrak{S}_{n}, \circ) Soit \mathfrak{S}_{n} l'ensemble des permutations de taille n Soit \circ la composition (\mathfrak{S}_{n}, \circ) est un groupe :

commutatif seulement si n \leq 2

d'élément neutre \mathrm{id}_{\{ 1,\dots,n \}}

L'inverse de \sigma \in \mathfrak{S}_{n} est sa permutation application réciproque

[!example]- groupes des fonctions et de leurs morphismes Soit X un ensemble et (G, *) un groupe L'ensemble \mathscr{F}(X, G) = G^{X} des fonctions X \to G muni de la loi \otimes donnée pour \alpha, \beta \in \mathscr{F}(X, G) par \forall x \in X, \quad (\alpha \otimes \beta )(x) := \alpha(x) * \beta (x) L'élément neutre est la fonction \begin{align} e :& X \to G\\ &x \to e_{G}\end{align} L'inverse de \alpha \in \mathscr{F}(X, G) est \begin{align} &X \to G\\ &x \mapsto \left[ \alpha(x) \right]^{-1}\end{align}

[!example]- GL_{n}(\mathbb{R}) (matrices carrées réelles inversibles de taille n) (GL_{n}(\mathbb{R}), \times) est un groupe :

sont élément neutre est Id_{n} la matrice identité de taille n

l'inverse de M \in GL_{n}(\mathbb{R}) est la inverse d'une matrice M^{-1} : M^{-1} M = M M^{-1} = Id_{n} Remarque : L'ensemble \mathcal{M_{n}(\mathbb{R})} des matrices carrées est un groupe pour +, d'élément neutre la matrice nulle, et dont l'inverse et la négation.

[!example]- groupe des automorphismes d'un espace vectoriel Soit V un espace vectoriel Soit GL(V) l'ensemble des automorphisme de V (GL(V), \circ) est un groupe

neutre : Id_{V}

inverse : bijection application réciproque

[!example]- isométries du plan Soit \mathcal{I} l'ensemble des isométries du plan (les bijections qui conservent les longueurs), qui préservent une figure géométrique donnée. (\mathcal{I}, \circ) est un groupe. Si la figure est un polygône régulier à n côtés, ce groupe est le groupe diédral D_{n}

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