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up:: automorphisme title:: "isomorphisme de groupes application linéaire d'un ensemble dans lui-même" #maths/algèbre
Un automorphisme linéaire est un automorphisme qui est aussi une application linéaire.
[!définition] un automorphisme linéaire est un isomorphisme linéaire de
(E, *)lui même
[!définition] Soit
(E, +, \cdot)un\mathbf{K}espace vectoriel une applicationfest un automorphisme linéaire deE \to Fssi :
\forall x \in E, f(x) \in E(soitE = F)\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in\mathbf{K}, f(\lambda u+v) = \lambda f(u)+f(v)(fest application linéaire)fest un isomorphisme de groupes :
\forall (u, v) \in E^{2}, f(u+_{E}v) = f(u) +_{F} f(v)(fest un morphisme de groupes) (nécessaire puisqu'on àE = F)fest bijection
[!définition] Soit
(E, +, \cdot)un $\mathbf{K}$espace vectoriel une applicationfest un automorphisme linéaire deE \to Fssi :
fest application linéairefest bijection