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up:: fonction continue, application linéaire #maths/algèbre #maths/topologie

[!definition] application linéaire continue Une application linéaire qui est aussi fonction continue. On note \mathcal{L}_{C}(E, F) l'ensemble des applications linéaires continue de E \to F ^definition

Propriétés

[!proposition]+ continuité des applications linéaires Soient (E, \|\cdot\|_{E}) et (F, \|\cdot\|_{F}) deux espace vectoriel normés Soit f : E \to F une application linéaire, alors on une équivalence entre :

1. f est continue
2. f est continue en 0_{E}
3. Il existe C \geq 0 tel que \forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} \leq C\|x\|_{E}
   • I autrement dit, \|f(\cdot)\|_{F} \leq C \|\cdot\|_{E} , c'est-à-dire que f est inférieure (au sens des normes) à une fonction linéaire

\text{1.} \iff \text{2.} \iff \text{3.}

[!démonstration]- Démonstration

• 1. \implies 2. évident : si f continue en chaque point alors elle est continue, en particulier, en 0_{E}
• 2. \implies 3. Prenons \varepsilon = 1 dans la définition de la continuité de f en 0_{E} : \exists \eta >0,\quad \forall x \in E,\quad d_{E}(x, 0_{E}) < \eta \implies d_{F}(f(x), f(0_{E})) <1 c'est-à-dire \forall x \in E,\quad \|x-0_{E}\|_{E} < \eta \implies \|f(x) - f(0_{E})\|_{F} < 1 donc, finalement : \forall x \in E,\quad \|x\|_{E}<\eta \implies \|f(x)\|_{F} < 1 Soit x \in E \setminus \{ 0 \} un vecteur quelconque considérons \tilde{x} = \frac{\eta x}{2 \|x\|_{E}} On a \|f(\tilde{x})\|_{F} \leq 1 autrement dit, comme x = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot\tilde{x} f(x) = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot f(\tilde{x}) et donc \|f(x)\|_{F} = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot \underbrace{\|f(\tilde{x})\|_{F}}_{\leq 1} \|f(x)\|_{F} \leq \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} cette inégalité reste vraie si x = 0_{E} D'où là propriété 3. avec C = \frac{2}{\eta}
• 3. \implies 1. Soient a \in E et \varepsilon>0 on a \forall x \in E,\quad \|f(x) - f(a)\|_{F} \leq C \|x - a\| Donc, si \eta = \frac{\varepsilon}{C} et si d(x, a) = \|x-a\|_{E} < \eta \begin{align} d(f(x), f(a)) &= \|f(x) - f(a)\|_{F} \\&\leq C \|x-a\|_{E} \\&< C\eta = C \frac{\varepsilon}{\eta} \\&< \varepsilon \end{align} Ce qui montre que f est continue en a pour tout a \in E

Exemples

[!example] Exemple d'application linéaire non continue Sur E = \mathbb{R}[X] (ensemble des polynômes) avec la norme \|P\| = \sup_{x \in [0; 1]} |P(x)| Soit : \begin{align} f: E &\to \mathbb{R}\\ P &\mapsto P'(1) \end{align} Alors, si P = X^{n}, \displaystyle\|P\| = \sup_{x \in [0; 1]} |x| = 1 Mais, f(P) = P'(1) = n \displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{|f(X^{n})|}{\|X^{n}\|} = \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{n}{1} = +\infty et \displaystyle\sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{|f(X^{n})|}{\|X^{n}\|} \leq \sup_{\substack{P \in \mathbb{R}[X]\\ P \neq 0_{\mathbb{R}[X]}}} \frac{|f(P)|}{\|P\|} = |\!|\!|f|\!|\!|

Donc \not\exists C \geq 0,\quad \forall P \in \mathbb{R}[X],\quad |f(P)| \leq C \|P\| et donc f ne peut pas être continue Même si l'espace d'arrivée est de dimension finie, on peut avoir des applications linéaires non continue