cours/adhérence d'un espace métrique.md

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adhérence fermeture

up:: espace métrique sibling:: intérieur d'un espace métrique #maths/topologie

[!definition] adhérence d'un espace métrique Soit (X, d) un espace métrique et A \subset X une partie quelconque de X Alors il existe un unique plus petit fermé \bar{A} parmi tous les fermés contenant A. \bar{A} est appelé l'adhérence de A, ou bien fermeture de A (de l'anglais "closure"). ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Existance et unicité Soit (X, d) un espace métrique et A \subset X \bar{A} l'adhérence de A existe et est unique.

[!démonstration]- Démonstration \displaystyle\bar{A} = \bigcap _{\substack{F \text{ fermé de } X\\A \subset F}} F \bar{A} est une partie fermée, et \bar{A} est contenue dans chacun des F fermés contenant A. \bar{A} est donc bien le plus petit fermé contenant A Il y a au moins un F fermé tel que F \supset A, car F = X est un tel fermé

[!proposition]+ Autre définition \bar{A} = \left\{ l \in X \mid \exists (x_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}},\quad x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} l \right\}

!intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw

[!proposition]+ Lien avec l'intérieur d'un espace métrique Sur l'espace métrique (X, d) :

• \mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right) c'est-à-dire que \mathring{A} est le complémentaire de l'intérieur de X \setminus A
• \bar{A} = X \setminus \mathring{\overparen{(X \setminus A)}}

C'est un principe du parapluie : \mathring{\cdot} = \complement \circ \overline{\cdot} \circ \complement (car le complémentaire est sson propr inverse)

[!proposition]+ Lien avec la partie fermée d'un espace métrique A est fermé \iff A = \bar{A}

[!démonstration]- Démonstration Si A = \bar{A}, comme, par définition, \bar{A} est une partie fermée, alors A est fermée. Inversement, si A est fermée, \bar{A} est le plus petit fermé qui contient A, donc \bar{A} = A

Exemples