cours/action par conjugaison.md

up:: automophisme #maths/algèbre

[!definition] Définition Soit G un groupe Pour tout g \in G, L'application \begin{align} \gamma _{g} : G &\to G\\ h &\mapsto g h g^{-1} \end{align} est appelée conjugaison par $g$ ^definition

Propriétés

[!proposition]+ La conjugaison est un automorphisme Quel que soit g \in G, la conjugaison \gamma _{g} est un automorphisme de G \boxed{\forall g \in G,\quad \gamma _{g} \in \mathrm{Aut}(G)}

[!démonstration]- Démonstration

• Montrons que \gamma _{g} \in \mathrm{End}(G) \begin{align} \forall h, h' \in G,\quad \gamma _{g}(hh') &= g(hh')g^{-1} \\&= hg\cdot h'g^{-1} \\&= gh 1_{G} h'g^{-1} \\&= ghg^{-1}gh'g^{-1} \\&= \gamma _{g}(h)\gamma _{g}(h') \end{align} Donc \gamma _{g}\in \mathrm{End}(G)
• on considère l'application suivante : \begin{align} \tilde{\gamma}_{g} : G &\to \mathrm{End}(G) \\ g &\mapsto \gamma _{g}\end{align} On a \forall g, g' \in G,\quad \tilde{\gamma}(gg') = \tilde{\gamma}(g) \circ \tilde{\gamma}(g') En effet, soient g, g' \in G, on a : \begin{align} \forall h \in G,\quad \tilde{\gamma}(gg')(g) &= \gamma _{gg'}(h) = (gg')h(gg')^{-1} \\&= gg'hg'^{-1}g^{-1} \\&= g\gamma _{g'}(h)g^{-1} \\&= \gamma _{g}(\gamma _{g'}(h)) \\&= (\gamma _{g} \circ \gamma _{g'})(h) \\&= (\tilde{\gamma}(g) \circ \tilde{\gamma}(g'))(h) \end{align} Maintenant, pour g \in G on sait que : \gamma _{g} \gamma _{g^{-1}} = \tilde{\gamma}(g) \tilde{\gamma}(g^{-1}) = \tilde{\gamma}(gg^{-1}) = \tilde{\gamma}(1_{G}) = \mathrm{id}_{G} et, de la même manière, \gamma _{g^{-1}}\gamma _{g} = \mathrm{id}_{G}

donc, \gamma _{g} est bijectif (d'inverse \gamma _{g^{-1}}) et \gamma _{g} \in \mathrm{Aut}(G) On obtient aussi que \tilde{\gamma} est à valeurs dans \mathrm{Aut}(G), et donc que \gamma est un morphisme

Exemples