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up::espace vectoriel #maths/algèbre

[!definition] norme Soit \mathbf{K} un corps commutatif muni d'une valeur absolue Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Une norme sur E est une application \mathcal{N} de E \to \mathbf{K} qui satisfait :

• espace séparé : \forall x \in \mathbf{E}, \quad \mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0_{E}
  • la réciproque (logique) est vraie aussi
• absolue application homogène : \forall (\lambda, x) \in K \times E, \quad \mathcal{N}(\lambda x) = |\lambda|\mathcal{N}(x)
• inégalité triangulaire (application sous-additive) : \forall (x, y) \in \mathbf{E}^{2}, \quad \mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y) ^definition

[!definition] Norme Euclidienne sur \mathbb{R}^{n} Soit \vec{v} \in \mathbb{R}^{n} un vecteur On note \|\vec{v}\| la norme de \vec{v}, et on a : \|\vec{v}\| = \sqrt{ \sum\limits_{k=1}^{n} (\vec{v}_{k})^{2} }

Propriétés

[!info] Positivité Toute norme est toujours positive : \forall x \in E, \quad \mathcal{N}(x) \geq 0 démonstration positivité de toute norme

[!info] normes sur des produits d'espaces Soient E et F deux $\mathbb{R}$-espace vectoriel, et \|\cdot \|_{E} (resp. \|\cdot \|_{F}) une norme sur E (resp. sur F). Alors E \times F est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, et on peut définir des normes sur E\times F, par exemple : \forall e, f \in E \times F,

• \|(e, f)\|_{1} = \|e\|_{E} + \|f\|_{F}
• \|(e, f)\|_{2} = \sqrt{ \|e\|_{E}^{2} + \|f\|_{E}^{2} }
• \|(e, f)\|_{\infty } = \max(\|e\|_{E}, \|f\|_{F})
• \vdots