cours/filtre de fréchet.md

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filtre	s/maths/logique

[!definition] filtre de fréchet Soit X un ensemble infini. On définit \mathcal{F} le filtre de Fréchet par : A \in \mathcal{F} si X - A est fini

• i on pourra le noter \mathcal{F}_{\mathrm{cof}}(X) \mathcal{F}_{cof}(X) = \{ A \in \mathcal{P}(X) \mid X \setminus A \text{ est fini} \}

[!démonstration]- Démonstration que c'est bien un filtre

1. X - X = \emptyset est bien fini
2. soient A, B \in \mathcal{F} on a : X - (A \cap B) = (X-A) \cup (X-B) or la réunion de deux ensembles finis est finie d'où il suit que A \cap B \in \mathcal{F}
3. Soit A \in \mathcal{F} avec A \subseteq B X - B \subseteq X - A or on sait que X - A est fini, et qu'une partie d'un ensemble fini est finie, d'où on a que X - B est fini et donc que B \in \mathcal{F} ^definition