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sr-interval: 365
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sr-ease: 346
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up::[[structure algébrique]]
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title::"[[loi de composition interne|lci]] [[associativité|associative]]", "[[élément neutre]]", "touts les éléments sont [[éléments symétrisables|symétrisables]]"
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#maths/algèbre
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Un ensemble $G$ muni d'une [[loi de composition interne]] $*$ est un _groupe_ ssi :
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- La loi est [[associativité|associative]]
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- $G$ possède un [[élément neutre]]
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- Tout élément de $G$ possède un [[éléments symétrisables|symétrique]] par $*$
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# Ordre d'un groupe
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L'_ordre d'un groupe_ est le [[cardinal d'un ensemble]] de son ensemble **si celui-ci est fini**
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# Propriétés
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- Un groupe n'est jamais vide
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- car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre
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- Les équivalences suivantes sont véfifiées :
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- $a*x = a*y \iff x=y$
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- $x*a = y*a \iff x = y$
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- $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$
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- $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$
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- L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie : $a^{*n}$ ou $a^n$
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- On pose $a^{*0}=e$
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- On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$
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- Alors: $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$
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## Proposition
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Soit $(G, *)$ un groupe, et $a\in G$.
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Si il existe un entier naturel $n$ tel que $a^{*n} = e$, alors il existe un plus petit entier $n_0$ tel que $a^{*n_0} = e$.
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On appelle alors $n_0$ _l'ordre de $a$_.
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Si $n$ n'existe pas? on dit que $a$ est _d'ordre infini_.
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# Exemples
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