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up:: matrice hessienne, déterminant d'une matrice, fonction de plusieurs variables #maths/analyse
[!definition] déterminant hessien Le déterminant de la matrice hessienne d'une fonction de plusieurs variables
f, noté| H(f) |. ^definition
Propriétés
Les déterminants mineurs d'une matrice hessienne H(f) permettent de calculer la nature des points critiques de la fonction f.
On définit les déterminants mineurs \Delta _{i}f (avec i \in [\![1; n]\!]) comme les déterminants des sous-matrices carrées de H(f) (qui partent du coin supérieur gauche de H(f)), et où \Delta _{i}f est de taile i \times i.
On peut noter : \Delta _{i}f = \det\; i\; i \uparrow H(f) en utilisant l'opérateur take.
On a alors les propriétés suivantes :
Soit a un point critique (un point qui annulle le gradient d'une fonction)
(1)si tous les\Delta _{i}f(a) > 0, alors le pointaest un minimum local(2)si tous les(-1)^{i}\Delta _{i}f(a) > 0, alors le pointaest un maximum local- si
(1)ou(2)est respecté, sauf pour au moins un déterminant qui est nul, on ne peut pas conclure, par manque d'information- si tous les
\Delta _{i}f(a)non nuls respectent soit(1), soit(2)
- si tous les
- dans tous les autres cas, c'est un point col
- si les déterminants non-nuls ne respectent ni
(1), ni(2)
- si les déterminants non-nuls ne respectent ni