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sibling:: [[infimum]]
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#s/maths/analyse
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> [!definition] supremum
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> Soit $A$ un ensemble
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> Le suprémum de $A$, noté $\sup(A)$ est le plus petits des majorants de $A$ :
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> Autrement dit :
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> - $\forall x \in A, \quad x \leq \sup(A)$
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> - $\forall \varepsilon>0, \quad \exists x \in A, \quad x > \sup(A) - \varepsilon$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition] Supremum et maximum
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> Si un majorant de $A$ est contenu dans $A$, alors c'est aussi un supremum. Autrement dit : si $A$ admet un maximum, alors $\sup(A) = \max(A)$
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> [!proposition] Suprémum et opposé
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> Soit $-A = \{ -x \mid x \in A \}$
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> $\boxed{\sup(-A) = - \inf(A)}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $a \in -A$, on pose $a = -x$ (et alors, $x \in A$ par définition).
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> > $\begin{align} x \geq \inf(A) &\implies -x \leq -\inf(A) \\&\implies a \leq -\inf(A) \end{align}$
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> > Donc $-\inf(A)$ est bien un majorant de $-A$.
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> > Montrons que $-\inf(A)$ est le plus petit des majorants de $-A$ :
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> > Soit $M$ un majorant de $-A$, on veut montrer que $M \geq -\inf(A)$
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> > Soit $a \in -A$, alors $M \geq a$
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> > Soit $x = -a$ (et donc $x \in A$), on a :
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> > $M \geq a \implies M \geq -x \implies -M \leq x$ donc $-M$ est un minorant de $A$
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> > Mais le plus grand minorant de $A$ est $\inf(A)$, on a donc :
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> > $\begin{align} M \leq \inf(A) \leq x &\implies -M \leq \inf(A) \\&\implies M \geq -\inf(A) \end{align}$
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> > Donc $-\inf(A)$ est bien plus petit que tout $M$, c'est donc le plus petit des majorants de $-A$.
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> > On a donc bien montré que $-\inf(A) = \sup(-A)$
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> [!proposition] Somme de $\sup$
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> Soit $A + B = \{ a+b \mid a \in A \wedge b \in B \}$
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> $\boxed{\sup(A) + \sup(B) = \sup(A+B)}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $\big[ \forall (a, b) \in A\times B, \quad a \leq \sup(A) \wedge b \leq \sup(B) \big] \implies \big[ \big]$
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> [!proposition] Produit de $sup$
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> Soient $A, B \subset \mathbb{R}^{+}$ avec $\sup A < +\infty$ et $\sup B < +\infty$
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> Soit $A \cdot B = \{ a\cdot b \mid a \in A \wedge b \in B \}$
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> $\boxed{\sup(A\cdot B) = \sup(A) \cdot \sup(B)}$
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> - ! Attention : la propriété devient fausse avec les nombres négatifs
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