cours/morphisme d'anneaux.md

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	morphisme	s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soient A et B deux anneau f : A \to B est un morphisme d'anneaux si :

• \forall a, b \in A,\quad \begin{cases} f(a+b) = f(a) + f(b)\\ f(ab) = f(a)f(b) \end{cases}
• f(1_{A}) = 1_{B} ^definition

Propriétés

[!proposition]+ préservation des idéaux Soit f: A \to B un morphisme d'anneaux J idéaux d'un anneau de B \implies f^{-1}(J) \text{ idéal de } A I idéaux d'un anneau de A \implies f(I) \text{ idéal de } B

[!démonstration]- Démonstration

• Supposons J idéaux d'un anneau de B Alors f^{-1}(J) < (A, +) Soient i \in f^{-1}(J) et a \in A f(ai) = \underbrace{f(a)}_{\in B} \underbrace{f(i)}_{\in J} ai \in f^{-1}(J) donc c'est un idéal

• Supposons I idéaux d'un anneau de A f(I) < B Soit j \in f(I) \exists i \in I,\quad j = f(i) \vdots

[!corollaire]+ Le noyau est un idéal Soit f : A \to B un morphisme d'anneaux Alors \ker f le noyau d'un morphisme de groupes de f est un idéaux d'un anneau

[!proposition]- Cas particulier sur \mathbb{Z} Soit (A, +, \cdot) un anneau Soit f : \mathbb{Z} \to A un morphisme donné par : \begin{cases} f(1) = 1_{A} \\ f(n) = n \times 1_{A} \end{cases}

[!example] Exemple 1 A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \begin{align} f : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ p &\mapsto \overline{p} \end{align} alors \ker f = n\mathbb{Z} et donc \mathrm{Car}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = n

[!example] Exemple 2 A = \mathbb{R}

[!proposition]+ L'image est un sous anneau Soit f : A \to B un morphisme d'anneaux \operatorname{Im}f est un sous anneau de B

Exemples