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aliases:
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- ev
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- espaces vectoriels
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up::[[espace]]
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title::"$(E, +, \cdot)$ tel que", " - $(E, +)$ est un [[groupe abélien]]", " - $\cdot$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Espace vectoriel
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> Un _espace vectoriel_ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :
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> - une [[loi de composition interne]] notée $+$
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> - une [[loi de composition]] **externe** notée $\cdot$
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> Soit $K$ un [[corps]]
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> Ces deux opérations vérifient :
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> - $(E, +)$ est un [[groupe abélien]] dont l'[[élément neutre]] est le vecteur nul $0_E$
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> - $(E, \cdot)$ est un [[monoïde]] (à gauche) dont l'[[élément neutre]] est $1$
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> - $\displaystyle \forall\overrightarrow{u}\in E, \forall(\lambda, \mu) \in K^{2}, \left\{\begin{array}{l}(1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u})\\\text{et}\\(\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda\mu)\cdot u))\end{array}\right.$
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> - Liens entre $+$ et $\cdot$ :
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> - [[distributivité]] de $\cdot$ par rapport à $+$ sur $E$ : $\forall\lambda\in K, \forall(\vec v, \vec u)\in E^{2},\quad\lambda\cdot(\vec u+\vec v) = \lambda\cdot\vec u + \lambda\cdot\vec v$
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> - [[distributivité]] de $\cdot$ par rapport à $+$ sur $\mathbb R$ : $\forall(\lambda,\mu)\in K, \quad \forall\vec u\in E, (\lambda + \mu)\cdot\vec u = \lambda\cdot\vec u + \mu\cdot\vec u$
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>
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> $\forall \vec{u} \in E, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbf{K}^{2}, \begin{cases}1 \cdot \vec{u} = \vec{u}\\ \text{ et }\\ \lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda \mu) \cdot u\end{cases}$
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# Vocabulaire
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On dit que $(E, +, \cdot)$ est l'espace vectoriel $E$ muni de $+$ et de $\cdot$ (la multiplication externe)
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> [!info] Espace vectoriel sur un corps
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> Quand les valeurs de la multiplication sont les éléments d'un corps $K$, on dit que l'espace vectoriel est **sur $K$**
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> On note que c'est un _K-ev_ ("_$K$ espace vectoriel_")
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> [!info] Éléments
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> Les éléments de $E$ sont appelés **[[vecteur|vecteurs]]**
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> Les éléments de $K$ sont appelés **scalaires**
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# Exemples d'espaces vectoriels
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- Les espaces $\mathbb R$, $\mathbb R^2$, $\mathbb R^3$, ... $\mathbb R^n$ sont des espaces vectoriels (avec l'addition et la multiplication, et sur le corps $\mathbb{R}$)
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- L'ensemble des [[polynôme|polynômes]] (sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$)
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- L'ensemble des [[fonction dérivable|fonctions dérivables]] (sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$)
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# Propriétés
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- Le [[produit cartésien]] de deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] est toujours un [[espace vectoriel]]
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> [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
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> ```breadcrumbs
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> type: tree
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> show-attributes: [field]
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> field-groups: [downs]
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> ```
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