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#flashcards/maths/analyse #flashcards/maths/calculus #s/maths/analyse
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Formule de _Taylor-Young_ pour les **développements limités**
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$$\text{DL}_n (x_0) f(x) = \sum_{k=0}^n\left( \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\right) + (x-x_0)^n\varepsilon(x)$$
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avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} \varepsilon(x) = 0$
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<!--SR:!2024-07-08,382,201-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_n(0)(1+x)^\alpha = \ldots$
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$1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdot(\alpha-n+1)x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$
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<!--SR:!2023-12-27,58,130-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_n(0)\dfrac{1}{1-x} =\ldots$
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$1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+x^n\varepsilon(x)$
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<!--SR:!2024-06-01,387,170-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_n(0)\dfrac{1}{1+x}=\ldots$
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$\dfrac1{1+x} = 1-x+x^2+ \cdots +(-1)^nx^n + x^n\varepsilon(x)$
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soit $(1+x)^\alpha$ avec $\alpha = -1$
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$\sum\limits_{k=0}^{n}\Big( (-1)^{k} x^{k} \Big)$
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<!--SR:!2024-04-09,292,170-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_n(0)\ln(1+x) =\ldots$
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$x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+x^n\varepsilon(x)$
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Soit $\displaystyle\sum_1^n\left( (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k} \right) + x^n\varepsilon(x)$ Attention : commence à $k=1$ car $\ln(1+0) = 0$
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`{-/(⍵*k)÷k←⍳N}x`
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<!--SR:!2024-01-01,63,130-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_n(0)e^x = \ldots$
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$1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$
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<!--SR:!2026-07-31,1177,311-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_{n}(0):\cos x =\ldots$
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$1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+x^{2n+1}\varepsilon(x)$
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$=\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{\frac{k}{2}}\frac{x^{k}}{k!}[2\mid k]$
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`{-/(⍵*k)÷!k←((0=2∘|)⊢⍤/⊢)0,⍳N}x`
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_somme alternée des $\frac{x^{k}}{k!}$ quand $2$ divise $k$_
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Puissances **Paires** car $\cos$ est une [[fonction paire]].
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Les parties régulières à l'ordre $2n$ et $2n+1$ sont les mêmes.
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<!--SR:!2024-01-10,244,200-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_n(0)\sin x =\ldots$
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$x - \dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1!}+x^{2n+2}\varepsilon(x)$
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$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{\frac{k-1}{2}}\frac{x^{k}}{k!}[2 \nmid k]$
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`{-/(⍵*k)÷!k←((1=2∘|)⊢⍤/⊢)0,⍳N}x`
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_somme alternée des $\frac{x^{k}}{k!}$ quand $2$ ne divise pas $k$_
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Puissances **Impaires** car $\sin$ est une [[fonction impaire]].
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Les parties régulières à l'ordre $2n+1$ et $2n+2$ sont les mêmes.
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<!--SR:!2024-06-21,364,239-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_{n}(0) :\mathrm{sh}(x) = \ldots$
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$\displaystyle\mathrm{sh}(x) = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2}) = \sum\limits_{k=0} ^{n} \frac{x^{k}}{k!}[2\nmid k]$
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`{+/(⍵*k)÷!k←((0=2∘|)⊢⍤/⊢)0,⍳N}x`
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_somme des $\frac{x^{k}}{k!}$ quand $2$ ne divise pas $k$_
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Puissances **impaires** car $\mathrm{sh}$ est une [[fonction impaire]]
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Mêmes termes que $\mathrm{DL}_{n}: e^{x}$
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<!--SR:!2024-02-04,269,198-->
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**Développement limité**
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$\mathrm{DL}_{n}(0) :\mathrm{ch}(x) = \ldots$
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$\displaystyle\mathrm{ch}(x) = 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}) = \sum\limits_{k=0} ^{n} \frac{x^{k}}{k!}[2\mid k]$
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`{+/(⍵*k)÷!k←((1=2∘|)⊢⍤/⊢)0,⍳N}x`
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_somme des $\frac{x^{k}}{k!}$_ quand $2$ divise $k$
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Puissances **paires** car $\mathrm{ch}$ est une [[fonction paire]]
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Mêmes termes que $\mathrm{DL}_{n}: e^{x}$
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<!--SR:!2024-03-13,135,197-->
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