cours/fonction mesurable.md

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fonctions mesurables mesurable mesurables

up:: fonction, espace mesurable #s/maths/algèbre

[!definition] fonction mesurable Soient \mathcal{A} une tribu sur E et \mathcal{B} une tribu sur F Soit f : \underbrace{(E, \mathcal{A})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}} \to \underbrace{(F, \mathcal{B})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}} f est mesurable de (E, \mathcal{A}) dans (F, \mathcal{B}) ssi : \forall B \in \mathcal{B}, f^{-1}(B) \in \mathcal{A} ^definition

Propriétés

[!proposition] f : (E, \mathcal{A}) \to (F, \mathcal{B}) avec \mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E}) et \mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F) f est mesurable \iff \forall B \in \mathcal{E}, \quad f^{-1}(B) \in \mathcal{A}

[!démonstration]- Démonstration

• \implies évident, car \mathcal{E} \subset \mathcal{B}
• \impliedby \mathcal{A} contient f^{-1}(E), donc \mathcal{A} contient \sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{E})) = f^{-1}(\mathcal{B})

[!proposition]+ applications mesurables réelles Soit f une application de (E, \mathcal{A}) à valeurs dans \mathbb{R} Alors f est mesurable si et seulement si une des conditions suivantes est respectée :

1. \forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) < a \} \in \mathcal{A}
2. \forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) \leq a \} \in \mathcal{A}
3. \forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) > a \} \in \mathcal{A}
4. \forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) \geq a \} \in \mathcal{A}

[!démonstration]- Démonstration Chacune des classes suivantes de parties de \mathbb{R} : \{ ]-\infty; a] \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ ]-\infty; a[ \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ [a; +\infty[ \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ ]a; +\infty[ \} \mid a \in \mathbb{R} engendre \mathcal{B}(\mathbb{R}) la tribu des boréliens.

De là suit que f est mesurable si et seulement si leur image par f est inclue dans \mathcal{A}

[!proposition] La composée de fonctions mesurables est mesurable Soient (E, \mathcal{A}), (F, \mathcal{B}) et (G, \mathcal{C}) 3 espace mesurable Soient f: E \to F et g: F \to G deux fonctions mesurables Alors g \circ f est mesurable de (E, \mathcal{A}) dans (G, \mathcal{C})

[!démonstration]- Démonstration Soit C \in \mathcal{C} (g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in \mathcal{B}}) \in \mathcal{A}

[!proposition] Mesurabilité et projections Soient (F_1, \mathcal{B}_{1}) et (F_2, \mathcal{B}_{2}) deux espaces mesurables Soit \begin{align} p_{i}: &F_1\times F_2 \to F_{i} \\& (x_1, x_2) \mapsto x_{i} \end{align} la projection sur F_{i} pour i \in \{ 1, 2 \} On munit F_1 \times F_2 de la tribu produit \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}

1. p_{i} est mesurable de (F_1\times F_2, \mathcal{B}_{1}\otimes \mathcal{B}_{2}) dans (F_{i}, \mathcal{B}_{i})
2. Soit f : (E, \mathcal{A}) \to (F_1 \times F_2, \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}), alors f est mesurable ssi p_{1}\circ f est mesurable et p_2 \circ f est mesurable

[!démonstration]- Démonstration

1. \forall B_1 \in \mathcal{B}_{1} on a p_1^{-1}(B_1) = B_1 \times F_2 \in \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2} et donc p_1 est bien mesurable On montre de la même manière que p_2 est mesurable
2. Si f est mesurable, et puisque p_1 et p_2 sont mesurables, alors f \circ p_i et p_{i} \circ f sont évidemment mesurables. Réciproquement, supposons que p_1 \circ f et p_2 \circ f soient mesurables. Alors \forall B_1 \in \mathcal{B}_{1}, on sait que (p_1 \circ f)^{-1}(B_1) = f^{-1}(B_1 \times F_2) \in \mathcal{A}. De la même manière, \forall B_2 \in \mathcal{B}_{2},\quad (p_2 \circ f)^{-1}(B_2) = f^{-1}(F_1 \times B_2) \in A

[!proposition]+ Mesurabilité des fonctions indicatrices Dans un espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Soit A \subset E On a : \mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff A \text{ mesurable} \iff A \in \mathcal{A}

[!démonstration]- Démonstration Par définition de la mesurabilité : \mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) \in \mathcal{A} Or, \mathbb{1}_{A} est à valeurs dans \{ 0, 1 \} donc : \mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff \forall B \in \{ 0, 1 \},\quad \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) \in \mathcal{A} or, \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \{ x \in E \mid \mathbb{1}_{A}(x) \in B \}

• Si B = \emptyset, alors il est évident que \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \emptyset
• Si B = \{ 0 \} alors \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \{ x \in E \mid \mathbb{1}_{A}(x) = 0 \} = E \setminus A
• Si B = \{ 1 \} alors \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = A
• Si B = \{ 0, 1 \} alors \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = E

Or, \emptyset \in \mathcal{A} et E \in \mathcal{A} par définition, et A \text{ mesurable} \iff A \in \mathcal{A} \iff E \setminus A \in \mathcal{A} (par stabilité de \mathcal{A} par complémentaire). De là suit que \mathbb{1}_{A} est mesurable si et seulement si A est mesurable.

^fonctions-indicatrices

Exemples

[!example] Exemple Quel que soit A \subset E \begin{align} \mathbb{1}_{A}: & (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \\& x \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } x \in A\\ 0 \text{ si } x \notin A \end{cases} \end{align} (voir tribu borélienne, fonction indicatrice) Alors, soit B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \mathbb{1}_{A}^{-1}(B) = \begin{cases} \emptyset & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \notin B\\ E & \text{ si } 0 \in B \wedge 1 \in B\\ A & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \in B\\ \complement_{E}A &\text{ si } 0 \in B \wedge 1 \notin B \end{cases} Donc, \mathbb{1}_{A} est mesurable dans E, \mathcal{A} \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) si et seulement si \emptyset, E, A, \complement_{E}A sont dans \mathcal{A}. Il est évident que \emptyset \in \mathcal{A} et que E \in \mathcal{A}, car \mathcal{A} est une tribu sur E Pour que \complement_{E}A \in \mathcal{A}, il faut et suffit que A \in \mathcal{A} (car les tribu sont stables par complément) Donc, \mathbb{1}_{A} est mesurable dans (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) ssi A \in \mathcal{A}