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up::espace vectoriel #s/maths/algèbre

[!definition] espace vectoriel réel On appelle espace vectoriel réel un espace vectoriel espace vectoriel#Espace vectoriel sur un corps \mathbb{R}, c'est-à-dire (\mathbb{R}^{n}, +, \cdot) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Continuité avec la norme infini Soit E = \mathbb{R}^{n} l'espace vectoriel muni de la norme infini \|\cdot\|_{\infty}, c'est-à-dire : \|x\|_{\infty} = \max \{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_{n}| \}) Soit F un espace vectoriel normé quelconque Alors une application linéaire : f : (\mathbb{R}^{n}, \|\cdot\|_{\infty}) \to (F, \|\cdot\|_{F}) est toujours application linéaire continue

[!démonstration]- Démonstration Soit e_1, \dots, e_{n} la base canonique de \mathbb{R}^{n} On note f_1 = f(e_1) \quad f_2 = f(e_2) \quad \cdots f_{n} = f(e_{n}) alors, si x = x_1e_1+\cdots + x_2e_2 est un vecteur quelconque de \mathbb{R}^{n} \begin{align} \|f(x)\|_{F} &= \|x_1f_1 + \cdots + x_{n}f_{n}\|_{F} \\&\leq \|x_1f_1\|_{F} + \|x_2f_2\|_{F} + \cdots + \|x_{n}f_{n}\|_{F} \\&\leq |x_1|\|f_1\|_{F} + \cdots + |x_{n}|\|f_{n}\|_{F} \\&\leq \|x\|_{\infty} (\underbrace{ \|f_1\|_{F} + \cdots + \|f_{n}\|_{F} }_{C}) \end{align} Donc, il existe un C tel que \forall x \in \mathbb{R}^{n},\quad \|f(x)\|_{F} \leq C \|x\|_{\infty} f est donc continue ^continuite-norme-infini

Exemples