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2023-06-15	239	312	dérivation	#s/maths/analyse

[!definition] Notation

• f^{(0)}=f
• f^{(n)} = (f^{(n-1)})' si cette dérivée existe

Propriétés

• prop Si f^{(n)} existe, alors toutes les dérivées d'ordre inférieur existent
• prop \left(f^{(p)}\right)^{(q)} = f^{(p+q)}

[!proposition]+ Ordre Dans f^{(n)}, on appelle ordre de dérivation la valeur de n

• = f^{(5)} est une dérivée d'ordre 5

[!proposition]+ Linéarité des dérivées successives Soient f, g \in \mathcal{D}^{n} des fonctions n fois dérivables Soit k \in \mathbb{R} quelconque On a (k\cdot f +g) \in \mathcal{D}^{n} et l'égalité suivante : \boxed{(x\cdot f+g)^{(n)} = k\cdot f^{(n)} + g^{(n)}} Par ailleurs, si g ne s'annule pas, on a : \frac{f}{g} \in \mathcal{D}^{n}

[!proposition]+ Formule de Leibniz

\displaystyle(f\times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)} \right)

[!example]- Exemple h(x) = x^2 \times e^{3x}, \mathscr D_f = \mathbb R On pose f(x) = x^2 et g(x) = e^{3x}

• f^{(0)}=x^2
• f^{(1)}=2x
• f^{(2)} = 2
• f^{(n)}(x) = 0 pour n\geq 3 et
• g^{(0)} = e^{3x}
• g^{(1)}=3e^{3x}
• g^{(2)}=9e^{3x}
• \vdots
• g^{(n)}=3^n \cdot e^{3x}

Donc: $$\begin{align} h^{(4)}(x) &= \sum_{k=0}^4 \left( \binom4k \cdot f^{(k)}(x) \cdot g^{(4-k)}(x) \right)\[2ex] &= x^2 \cdot 81e^{3x} + 4 \cdot 2x \cdot 27e^{3x} + 6 \cdot 2 \cdot 9e^{3x} + 0\[1ex] &= 27e^{3x}\left( 3x^2 + 8x + 4 \right) \end{align}$$