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aliases:
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- conventions d'écritures
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- conventions d'écriture pour les groupes
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> [!info] omission de la [[loi de composition interne|lci]]
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> Sauf mention contraire (par exemple, avec plusieurs lois), ou exemples standarts, on omet d'écrire la loi.
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> - le neutre sera noté $1_{G}$ ou $1$
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> - l'inverse sera noté $g^{-1}$
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>
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> > [!example] Exemple
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> > Soit $(G, *)$ un groupe, pour tout $g, h \in G$, on a $g*h \in G$
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> > devient :
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> > Soit $G$ un groupe, pour tout $g, h \in G$, on a $gh \in G$
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> [!info] $+$ pour les lois commutatives
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> Si $G$ est commutatif, on écrira parfois la loi sous forme additive :
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> $g+h = h + g$ (avec $g, h \in G$)
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> - le neutre sera noté $0_{G}$ ou $0$
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> - l'inverse sera noté $-g$
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> > [!example] Exemples
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> > $\mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{D}, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\dots$
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> > partout où on sait déjà faire des additions
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> [!info] notation puissance
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> soit $G$ un groupe
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> soit $g \in G$
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> Pour $n \in N$, on définit :
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> $g^{n} := \begin{cases} 1 \quad \text{si } n = 0\\ g^{n-1}g \quad \text{si } n \geq 1 \end{cases} = \underbrace{ggg\dots g}_{g \text{ apparait } n \text{ fois}}$
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> $g^{-n} := \left( g^{n} \right)^{-1}$
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> > [!info] Propriétés
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> > Pour $m, n \in \mathbb{Z}$, on montre par réccurence que :
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> > $x^{m+n} = x^{m}x^{n} = x^{n}x^{m}$
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> > $\left( x^{m} \right)^{n} = x^{mn} = \left( x^{n} \right)^m$
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> >
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>
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> [!info] pour les lois additives
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> Dans le cas d'une loi notée additivement, les notations deviennent (avec $g \in G$ et $n \in \mathbb{N}$) :
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> $g^{n} \leadsto ng$
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> $g^{-n} \leadsto -ng$
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> $g^{m+n}=g^{m}g^{n} \leadsto (m+n)g = mg+ng$
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> $(g^{m})^{n} = g^{mn} \leadsto n(mg)=(nm)g=nmg$
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> [!info] Proposition
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> Soit $G$ un groupe
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> soient $n \in Z$ et $x, y \in G$
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> <u>**Si $x$ et $y$ commutent**</u>, alors $(xy)^{n} = x^{n}y^{n}$
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> > [!démonstration] Démonstration
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> > On traîte d'abord le cas $n \geq 0$ par réccurence :
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> > 1. Initialisation
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> > $(xy)^{0} = 1 = 1\times 1 = x^{0}y^{0}$
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> > 2. Hérédité
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> > On suppose $(xy)^{n} = x^{n}y^{n}$ pour un $n \in \mathbb{N}$
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> > Alors $(xy)^{n+1} = (xy)^{n}(xy) = x^{n}y^{n}(xy) = x x^{n} y y^{n} = x^{n+1} y^{n+1}$ par associativité et commutativité de $x$ et $y$
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> > La propriété est donc vraie par réccurence
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> > Maintenant, si $n < 0$, on a, par les résultats précédents :
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> > $(xy)^{n} = (xy)^{-(-n)} = ((yx)^{n})^{-1} = (y^{-n}x^{-n})^{-1}$
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> > $\begin{align} (xy)^{n} &= (xy)^{-(-n)} \\&= ((xy)^{n})^{-1} \\&= (x^{-n}y^{-n})^{-1} &\text{ car } -n > 0 \\&= (x^{-n})^{-1}(y^{-n})^{-1} & \text{ par la prop. précédente} \\&= x^{n}y^{n} \end{align}$
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> > On procède de même pour démontrer que $(yx)^{n} = x^{n}y^{n}$
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> > [!example] Exemple avec le [[groupe du rubik's cube]]
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> > Les mouvements gauche et droite commutent, donc : $(RL)^{2} = R^{2}L^{2}$
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