cours/covariance.md

up:: statistiques indices de dispersion #s/maths/statistiques

[!definition] Définition Soient X, Y \in L^{2} on appelle covariance de X et Y : \begin{align} \operatorname{cov}(X, Y) &= \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X)) (Y - \mathbb{E}(Y))) \\&= \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{align} ^definition

[!définition] Soient X et Y deux variables

\begin{align}
\mathrm{cov}(X, Y) &= \overline{X \cdot Y} - \overline{X} \cdot \overline{Y} \\[1em]
&= \overline{(X-\overline{X}) \cdot (Y - \overline{Y})} \\[1em]
&= \sum\limits_{n}\left( \frac{ \left( X_{n} - \overline{X}\right) \cdot \left( Y_{n} - \overline{Y} \right) }{n} \right) 
\end{align}

Propriétés

[!proposition]+ variables non corellées Si X et Y sont indépendantes Alors \operatorname{cov}(X, Y) = 0

• i on dit alors que X et Y sont non corellées
• ! la réciproque n'est pas vraie : on peut avoir une covariance nulle sans que X et Y soient indépendantes

[!démonstration]- Démonstration on sait que si X et Y sont indépendantes, alors \mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) D'où suit que, dans ce cas, on aie \operatorname{cov}(X, Y) = \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) = 0

^corellation

[!proposition]+ Lien avec la variance \operatorname{cov}(X, X) = \mathbb{V}(X) voir variance

[!proposition]+ bilinéarité et symétrique \operatorname{cov} est une forme bilinéaire symétrique

• \operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)
• \operatorname{cov}(\lambda X + X', Y) = \lambda \operatorname{cov}(X, Y) + \operatorname{cov}(X', Y)