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ensemble des formes linéaire espace dual espace vectoriel dual	espace vectoriel	#s/maths/algèbre

[!definition] ensemble des formes linéaire d'un espace vectoriel Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel On note E^{*} l'ensemble des forme linéaire sur E

E^{*} est appelé espace dual de $E$

On peut également utiliser la notation \mathscr{L}(E, \mathbf{K}) (l'espace vectoriel des applications linéaires de E \to \mathbf{K}) ^definition

Propriétés

• \dim E^{*} = \dim E

[!proposition]+ Dimension de l'espace dual Si E est de dimension d'un espace vectoriel finie Alors E^{*} est un espace vectoriel de même dimension que E : \dim E^{*} = \dim E

• I Evident car une forme linéaire sur E est une matrice de taille 1\times \dim E, et donc E^{*} peut être assimilé à E par les matrices des formes linéaires

[!démonstration]- Démonstration preuve : \dim E* = \dim \left( \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) \right) = \underbrace{\dim E \times \dim K}_{\text{taille des matrices de } E^{*}} = \dim E \times 1 = \dim E

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Autrement :

On sait que si E, F sont des $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie, alors \mathscr{L}(E, F) est un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension \dim(E)\dim(F). Ici, \dim(F) = 1. Donc si \dim(E) < +\infty, on a : \dim(E^{*}) = \dim(E)

[!proposition]+ Soit E un espace vectoriel Soit B = (e_1, \dots, e_{n}) une base de E \exists ! B^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_{n}^{*}) \text{ base de } E^{*},\quad e_{i}^{*} (e_{j}) = \delta _{ij}

[!proposition]+ \forall \varphi \in E^{*},\quad \sum\limits_{i = 1}^{n} \varphi(e_{i})e_{i}^{*} = \varphi \forall x \in E,\quad x = \sum\limits_{i = 1}^{n} e_{i}^{*} (x) e_{i}

[!proposition]+ Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit \varphi \in E^{*} \exists \lambda_1, \dots, \lambda _{n} \in \mathbf{K},\quad \varphi = \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda _{i} e_{i}^{*} car (e_1^{*}, \dots, e_{2}^{*}) est une base de E^{*} Donc : \displaystyle \varphi\left( e_{j} = \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda _{i}\underbrace{e_{i}^{*}(e_{j})}_{\substack{0 \text{ si } i \neq j\\ 1 \text{ si } i = j }} \right)

[!proposition]+ Propriétés des formes linéaires Soit \varphi \in E^{*} Alors \varphi \neq 0 si et seulement si \varphi est surjection Si \dim (E) = n< +\infty alors \varphi \neq 0 \iff \dim(\ker(\varphi)) = n-1

Exemples

1.

E = \mathbb{R}^{3} avec B_{C} = (e_1, e_2, e_3) sa base canonique et B_{C}^{*} =(e_1^{*}, e_2^{*}, e_3^{*}) la base canonique de (\mathbb{R}^{3})^{*}

e_1^{*}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = x posons B = (e_1, e_2, e_1+e_3)

• ! On a envie de dire B^{*} = (e_1^{*}, e_2^{*}, e_1^{*} + e_3^{*}), mais c'est faux
  • On peut écrire : B^{*} = (e_1^{*}, e_2^{*}, (e_1+e_3)^{*})