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sr-due: 2022-08-20
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sr-ease: 288
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alias: [ "sous groupes" ]
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up::[[groupe]], [[structure algébrique]]
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#maths/algèbre
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Soit $H$ un **sous-ensemble** non vide d'un groupe $G$ muni d'une loi $*$.
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$(H, *)$ est un _sous-groupe_ de $(G, *)$ ssi :
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- $*$ est une [[loi de composition interne]] sur $H$ : $\forall (h_1,h_2)\in H^2, h_1*h_2\in H$
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- $\forall h\in H, h^{-1}\in H$ : tous les éléments de $H$ ont leur [[éléments symétrisables|symétrique]] dans $H$ aussi
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- Alors $h*h^{-1}\in H$, donc cette propriété implique que $(H,*)$ possède un [[élément neutre]]
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On sait aussi que $(H,*)$ est commutatif et associatif car $(G,*)$ l'est, et que $H\subset G$
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# Autres définition
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Soit un groupe $(G, *)$,
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$(H, *)$ est un sous-groupe de $(G, *)$ ssi :
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- $H\subset G$ et $H\neq\emptyset$
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- $H$ est stable par la loi $*$ : $\forall (a,b)\in H^2, a*b\in H$
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- $H$ est stable par passage au symétrique : $\forall a\in H? a^{*(-1)}\in H$
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# Propriétés
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- Un sous ensemble **non vide** $H$ d'un groupe $(G, *)$ est un sous-groupe ssi $\forall(h_1,h_2)\in H^2, h_1*h_2^{-1}\in H$
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- Soit $(G, *)$ un groupe et $(H_i)$ une famille quelconque de sous-groupes. Alors : $\disp\cap_{i}H_{i}$ est également un sous-groupe de $(G, *)$
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