cours/support d'une permutation.md

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up::permutation #s/maths/algèbre

[!definition] support d'une permutation Soit \sigma \in \mathfrak{S}_{n} une permutation Le support de \sigma est défini par : \mathrm{supp}(\sigma) := \{ i \in [\![1; n ]\!] \mid \sigma(i) \neq i \} ^definition

[!idea] Intuition Le support d'une permutation est l'ensemble des éléments qui ne sont pas invariant par une permutation par $\sigma$

C'est donc le complémentaire d'un ensemble dans \mathfrak{S}_{n} de l'ensemble des invariant par une permutation \sigma.

Propriétés

\text{Supp}(\sigma) = \text{Supp}(\sigma^{-1})

\text{Supp}(\mathrm{id})=\emptyset car la permutation identité n'a que des points fixes

[!proposition]+ stabilité du support Le support d'une permutation \sigma est stable par \sigma : \forall i \in \mathrm{supp}(\sigma),\quad \sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma)

[!démonstration]- Démonstration Soit i \in \mathrm{supp}(\sigma) Si \sigma(i) \notin \mathrm{supp}(\sigma), alors on doit avoir \sigma(\sigma(i)) = \sigma(i), mais en appliquant \sigma ^{-1} on trouve \sigma(i) = i, ce qui est impossible Donc, \sigma(\sigma(i)) \neq \sigma(i), et donc \sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma)

[!proposition]+ Commutativité et support Deux permutations à support disjoints commutent : Soient \sigma, \rho \in \mathfrak{S}_{n} \mathrm{supp}(\sigma) \cap \mathrm{supp}(\rho) = \emptyset \implies \sigma \circ \rho = \rho \circ \sigma

• ! deux permutations peuvent commuter sans avoir des supports disjoints (ex : \sigma et \sigma)

[!démonstration]- Démonstration Soient \sigma, \rho \in \mathfrak{S}_{n} tels que \mathrm{supp}(\sigma) \cap \mathrm{supp}(\rho) = \emptyset Si E := \{ 1,\dots, n \} \setminus (\mathrm{supp}(\sigma) \sqcup \mathrm{supp}(\rho)) alors \{ 1,\dots, n \} = (\mathrm{supp}(\sigma) \sqcup \mathrm{supp}(\rho)) \sqcup E Soit i \in \{ 1,\dots, n \}

• Si i \in E, alors i \notin \mathrm{supp}(\sigma) et i \notin \mathrm{supp}(\rho) donc \sigma \rho(i) = \sigma(\rho(i)) = \sigma(i) = i et \rho \sigma (i) = \rho(\sigma(i)) = \rho(i) = i ainsi on a : \sigma \rho(i) = \rho \sigma(i)
• Si i \in \mathrm{supp}(\sigma) On a \sigma \rho(i) = \sigma(\rho(i)) = \sigma(i), en effet i \notin \mathrm{supp}(\rho) donc \rho(i) = i On a aussi \rho \sigma(i) = \rho (\sigma(i)) = \sigma(i) car \sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma) donc \sigma(i) \notin \mathrm{supp}(\rho) ainsi on a : \sigma \rho = \rho \sigma
• Si i \in \mathrm{supp}(\rho) alors on a directement \rho \sigma(i) = \sigma \rho(i) par symétrie
• Finalement, dans tous les cas, \sigma \rho = \rho \sigma, donc \rho et \sigma commutent bien.