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alias: [ "ensemble des formes linéaire", "espace dual", "espace vectoriel dual" ]
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up: "[[espace vectoriel]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] ensemble des formes linéaire d'un espace vectoriel
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> On note $E^{*}$ l'ensemble des [[forme linéaire|formes linéaires]] sur $E$
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>
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> $E^{*}$ est appelé **espace dual de $E$**
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>
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> On peut également utiliser la notation $\mathscr{L}(E, \mathbf{K})$ (l'[[espace vectoriel des applications linéaires]] de $E \to \mathbf{K}$)
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^definition
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# Propriétés
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- $\dim E^{*} = \dim E$
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> [!proposition]+ Dimension de l'espace dual
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> Si $E$ est de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
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> Alors $E^{*}$ est un [[espace vectoriel]] de même dimension que $E$ :
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> $\dim E^{*} = \dim E$
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> - I Evident car une forme linéaire sur $E$ est une matrice de taille $1\times \dim E$, et donc $E^{*}$ peut être assimilé à $E$ par les matrices des formes linéaires
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > preuve : $\dim E* = \dim \left( \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) \right) = \underbrace{\dim E \times \dim K}_{\text{taille des matrices de } E^{*}} = \dim E \times 1 = \dim E$
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> >
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> > ---
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> > Autrement :
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> >
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> > On sait que si $E, F$ sont des $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de dimension finie, alors $\mathscr{L}(E, F)$ est un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de dimension $\dim(E)\dim(F)$.
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> > Ici, $\dim(F) = 1$.
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> > Donc si $\dim(E) < +\infty$, on a :
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> > $\dim(E^{*}) = \dim(E)$
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> [!proposition]+
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> Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
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> Soit $B = (e_1, \dots, e_{n})$ une base de $E$
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> $\exists ! B^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_{n}^{*}) \text{ base de } E^{*},\quad e_{i}^{*} (e_{j}) = \delta _{ij}$
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>
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> [!proposition]+
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> $\forall \varphi \in E^{*},\quad \sum\limits_{i = 1}^{n} \varphi(e_{i})e_{i}^{*} = \varphi$
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> $\forall x \in E,\quad x = \sum\limits_{i = 1}^{n} e_{i}^{*} (x) e_{i}$
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> [!proposition]+
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> Soit $\varphi \in E^{*}$
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> $\exists \lambda_1, \dots, \lambda _{n} \in \mathbf{K},\quad \varphi = \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda _{i} e_{i}^{*}$ car $(e_1^{*}, \dots, e_{2}^{*})$ est une base de $E^{*}$
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> Donc :
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> $\displaystyle \varphi\left( e_{j} = \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda _{i}\underbrace{e_{i}^{*}(e_{j})}_{\substack{0 \text{ si } i \neq j\\ 1 \text{ si } i = j }} \right)$
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> [!proposition]+ Propriétés des formes linéaires
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> Soit $\varphi \in E^{*}$
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> Alors $\varphi \neq 0$ si et seulement si $\varphi$ est [[surjection|surjective]]
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> Si $\dim (E) = n< +\infty$ alors $\varphi \neq 0 \iff \dim(\ker(\varphi)) = n-1$
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# Exemples
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## 1.
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$E = \mathbb{R}^{3}$ avec $B_{C} = (e_1, e_2, e_3)$ sa base canonique et $B_{C}^{*} =(e_1^{*}, e_2^{*}, e_3^{*})$ la base canonique de $(\mathbb{R}^{3})^{*}$
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$e_1^{*}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = x$
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posons $B = (e_1, e_2, e_1+e_3)$
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- ! On a envie de dire $B^{*} = (e_1^{*}, e_2^{*}, e_1^{*} + e_3^{*})$, mais c'est faux
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- On peut écrire : $B^{*} = (e_1^{*}, e_2^{*}, (e_1+e_3)^{*})$ |