cours/différentielle seconde.md

aliases, up, tags

aliases	up	tags
deux fois différentiable	différentielle	s/maths/analyse

[!definition] Définition Soit f : \Omega \to F différentiable en tout point de \Omega On dit que f est deux fois différentiable en x \in \Omega si : \mathrm{d}f : \Omega \to \mathscr{L}(E, F) est différentiable en x. On appelle alors différentielle seconde de f en x l'application : \begin{align} \mathrm{d}^{2}f(x) : E^{2} \to F \end{align} Et on montre aisément que \mathrm{d}^{2}f(x) est forme bilinéaire, ce que l'on note : \mathrm{d}^{2}f(x) \in \mathscr{L}(E^{2}, F)

^definition

Propriétés

[!proposition]+ Si f : \Omega \to F est différentiable en tout point de \Omega Si sa différentielle \begin{align} \mathrm{d}f : \Omega &\to \mathscr{L}(E, F) \\ x &\mapsto \mathrm{d}f(x) \end{align} est différentiable en x \in \Omega Alors la différentielle de \mathrm{d}f en x est une application linéaire de E \to \mathscr{L}(E, F) Autrement dit : \mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x) \in \mathscr{L}(E, \mathscr{L}(E, F))

Soit h \in E : \mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x)(h) \in \mathscr{L}(E, F) Soit k \in E : \left[ \mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x)(x) \right](k) \in F

[!proposition]+ Théorème de Schwarz Soit f : \Omega \to F deux fois différentiable en x \in \Omega Alors l'application bilinéaire \mathrm{d}^{2}f(x) est symétrique : \mathrm{d}^{2}f(x)(a, b) = \mathrm{d}^{2}f(x)(b, a)

Cas E = \mathbb{R}^{n}

[!proposition]+ Théorème Soit f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to F de classe d'une fonction \mathscr{C}^{1} Alors f est de classe \mathscr{C}^{2} si et seulement si ses dérivée partielle sont de classe d'une fonction \mathscr{C}^{1} sur \Omega Et on a alors : \dfrac{ \partial^{2} f }{ \partial x_i \partial x_{j} }(x) = \mathrm{d}^{2}f(x)(e_{i}, e_{j})

[!démonstration]- Démonstration On sait qu'un fonction est de classe \mathscr{C}^{1} ssi ses dérivée partielle existent et sont continues. On a donc d'un part que \mathrm{d}f est de classe \mathscr{C}^{1} ssi ses dérivées partielles \frac{ \partial }{ \partial x_{i} }(\mathrm{d}f) existent et sont continues. D'autre part, on a que \displaystyle\frac{ \partial f }{ \partial x_{j} } est de classe d'une fonction \mathscr{C}^{1} ssi ses dérivées partielles \displaystyle\frac{ \partial }{ \partial x_{i} }\left( \frac{ \partial f }{ \partial x_{j} } \right) existent et sont continues. Il suffit donc que démontrer, pour tout i, que \left[ \frac{ \partial }{ \partial x_{i} }(\mathrm{d}f)\right](x) existe si et seulement si \frac{ \partial }{ \partial x_{i} }\frac{ \partial f }{ \partial x_{j} }(x) existe pour tout j et qu'on a alors \displaystyle\left[ \frac{ \partial }{ \partial x_{i} }(\mathrm{d}f) \right](x) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\left( \frac{ \partial^{2} f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }(x) \mathrm{d}x_{j} \right)

• i Le reste de la preuve prends 1h30 de cours, ce qui la rend trop longue pour tenir dans cette marge. Voici donc une solution de l'hypothèse de Riemann : \zeta(s) = 0 \implies s = \zeta ^{-1}(0)

Exemples