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up:
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- "[[suites particulières]]"
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- "[[S2 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes . rendu]]"
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tags:
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- s/maths
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aliases:
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- suite look-and-say
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- audioactive decay
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- look-and-say sequence
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author:
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- "[[John Horton Conway|John Conway]]"
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header-auto-numbering:
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- state off
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> [!definition] [[désintégration audioactive]]
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> La règle de définition est :
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> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
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^definition
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# Notations
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- On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres
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- On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le "parsing", c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
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- = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$ même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
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- $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ est dérivée en $L'$ par désintégration audioactive
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- On note aussi $L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots$ pour $L \longrightarrow L'$ et $L' \longrightarrow L''$ et $L'' \longrightarrow \cdots$
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- $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
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- évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \to L_{n+1}$
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- i on peut noter $L \xrightarrow{n} L_{n}$
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- On utilise $[$ et $]$ pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme)
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- = $[11222$ correspond à $11 222\cdots$
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- On utilise les puissances pour la répétition
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- = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$
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- i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$) (cela est important pour les premiers théorèmes)
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- $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul)
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- = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$
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- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$
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- = $2^{2}X^{2}$ correspond à l'une de : $2^{2}1^{2},\quad 2^{2}3^{2},\quad 2^{2}4^{2},\quad 2^{2}5^{2}, \dots$ (mais pas à $2^{2}2^{2} = 2^{4}$)
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- = $2^{X}$ correspond à l'une de : $2,\quad 2^{2},\quad 2^{3},\quad 2^{4}, \dots$ (mais ne peut pas être vide)
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- $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$
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- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre
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- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$
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- = $n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\longrightarrow} n^{\neq n}] \to n'$
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- On utilisera des analogies temporelles pour désigner le nombre de dérivations :
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- "après 1 jour" pour "après une dérivation"
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- "chaine âgée d'au moins 2 jour" pour "chaine issue de 2 dérivations successives"
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- "après un certain temps" pour "après un certain nombre de dérivations"
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- On notera $E_{n}$ l'élément de numéro $n$ (voir le [[désintégration audioactive#^liste-elements|tableau des éléments]])
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# Propriétés
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> [!proposition]+ conséquence du regroupement
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> Pour une étape :
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> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
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> Il est évident que :
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> $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
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> - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles
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^regroupement
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## Atomes
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> [!definition] Découpage
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> Parfois, une chaîne $LR$ est telle que les descendants de $L$ et de $R$ n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que :
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> $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$
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> On dit alors que $LR$ se **découpe** en $L . R$
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> - i on note alors $L \cdot R$
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> - i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de $L_{n}$ est toujours différent du premier chiffre de $R_{n}$ (ou bien quand l'une des deux est vide)
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> ---
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> - def On appelle **trivial** un découpage du type $[\;]\cdot L$ ou $L\cdot [\;]$
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^def-decoupage
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> [!definition] Atome
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> Les **atomes** (ou *éléments*) sont les chaînes qui ne possèdent pas de [[désintégration audioactive#^def-decoupage|découpage]] non trivial.
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^def-atome
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- i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments.
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## Théorèmes préliminaires
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> [!proposition]+ Théorème du jour 1
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> Les morceaux de type :
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> 1. $,ax,bx,$
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> 2. $x^{\geq 4}$
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> 3. $x^{3}y^{3}$
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>
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> n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > 1. $,ax,bx,$
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> > - ! ce premier morceau à un parsing donné
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> > La première possibilité doit venir de $x^{a}x^{b}$ qui aurait du être écrit $x^{a+b}$ dans la chaîne du jour précédent.
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> > 2. $x^{\geq 4}$ soit $x^{n}$ pour $n \geq 4$
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> > On peut parser cette expression de plusieurs manières.
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> > - si $n$ est pair :
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> > $,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}},$ et au minimum $,xx,xx,$ pour $n = 4$. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces $x$ : $x^{2\times x}$ n'est pas dérivé en $xx,xx$ mais en $(2\times x)x$
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> > L'autre parsing possible est $x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x$ ce qui donne, à nouveau, le même résultat : $,x,x^{k},x,$ n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en $(k+2)x$
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> > - si $n$ est impair : ($n\geq 5$)
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> > A nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes
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> > 2. $x^{3}y^{3}$
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> > Encore une fois, considérons les parsing possibles :
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> > - $,xx,xy,yy,$ ne peut pas exister, puisque $,xy,yy,$ aurait du être dérivé en un $,ky,$
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> > - $[x,xx,yy,y]$ ne peut pas exister puisque $\alpha x,x x$ aurait du être dérivé en $(\alpha+x) x$
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> > Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation.
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^thm-jour-1
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> [!proposition]+ Théorème du jour 2
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> - Aucun chiffre $\geq 4$ ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent).
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> - Un morceau $3 X 3$ (en particulier $3^{3}$) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - Un chiffre $\geq 4$ devrait venir d'un $x^{\geq 4}$, on on sait par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]] qu'un tel $x^{\geq 4}$ ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre $\geq 4$ ne peut pas apparaître après le jour 2
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> > - i un chiffre $k>1$ quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient $,x^{k},$ puisque $,x^{k}, \to ,kx,$
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> > - Un morceau $3X 3$ ne peut pas être parsé comme $3,x 3, y$ puisque l'on aurait alors $,\alpha 3, x 3, y$ mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner $,\alpha 3,x 3,$)
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> > On doit donc nécessairement parser $3X 3$ comme $,3x,3y,$. Pour obtenir $,3x,3y,$, on doit avoir obtenu $x^{3}y^{3}$ au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]]). Cela montre bien que $3X 3$ est impossible dès le jour 2.
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^thm-jour-2
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> [!proposition]+ Théorème du début
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> Soit $R$ un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus.
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> Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :
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> - $\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots$
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> - $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
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> - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
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> - $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$.
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> > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) :
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> > - Si $R$ commence par $1$
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> > - Si $R$ commence par $1^{1}$
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> > - c $[1^{1}]$ impossible car ne peut pas être dérivé
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> > - p $[1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1} \leftarrow [(\neq X)^{X}$ car $X^{X} \longrightarrow XX \longrightarrow 2X$
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> > - down $[1^{1}X^{2}$ se divise en plusieurs cas, le seul possible étant $[1^{1}2^{2}$
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> > - right $[1^{1}1^{2} = [1^{3}$ que l'on traitera plus tard
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> > - p $[1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}(\neq X)^{X}$
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> > - c $[1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3} = [3X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
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> > - c $[1^{1}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [(\geq 4)^{1}X^{\geq 4}$ impossible au [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
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> > - c $[1^{1}X^{3} = [1X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
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> > - c $[1^{1}X^{n\geq 4}$ impossible puisque $X^{n\geq 4}$ est impossible dès le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
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> > - Si $R$ commence par $1^{2}$ on $R= [1^{2}2^{\leq 3}$
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> > - right $[1^{2}1^{1} = [1^{3}$
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> > - c $[1^{2}1^{\geq2} = [1^{\geq 4}$ impossible
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> > - p $[1^{2}2^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{1}n^{X}$
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> > - p $[1^{2}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}$
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> > - p $[1^{2}2^{3} \longleftarrow [1^{1}2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}n^{X}$
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> > - c $[1^{2}2^{\geq 4}$ impossible
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> > - c $[1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3}$ impossible car $,1X,XX,$ est impossible
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> > - c $[1^{2}(X\geq 4)$ impossible par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]]
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> > - Si $R$ commence par $1^{3}$ on a $R = [1^{3}X^{1} \text{ ou } [1^{3}2^{2}$
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> > - p $[1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}$
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> > - p $[1^{3}2^{2}$
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> > - $[1^{3}1^{2}$ est évidemment exclus
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> > - p $[1^{3}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{X}$
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> > - c $[1^{3}2^{3} = [11,12,22$ impossible
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> > - c $[1^{3}2^{\geq 4}$ impossible
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> > - c $[1^{3}X^{3}=[11,1X,XX$ impossible
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> > - Si $R$ commence par $2$ alors $R= [2^{1}X^{\leq 2}$
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> > - down $[2^{1}X$ considérons les différentes possibilités :
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> > - p $[2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}$
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> > - p $[2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}$
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> > - c $[2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots$ impossible
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> > - c $[2^{2}$ impossible par supposition car commencerait par $[22$
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> > - p $[2^{3} \longleftarrow [2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{2}X^{X}$
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> > - c $[2^{\geq 4}$ évidemment
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> > - Si $R$ commence par $3$ alors $R =[3^{\leq 2}(\leq 2)^{2} \text{ ou } [3^{2}(\leq 2)^{1} \text{ ou } [3^{3}(\leq 2)^{3}$
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> > - p $[3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}$
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> > - p $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ puisque :
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> > - p $[3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}$
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> > - p $[3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2}$ possible si $X \neq 2$
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> > - c $[3^{1}(\geq 3)^{2}$ puisque:
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> > - c $[3^{1}3^{2}=[3^{3}$ impossible
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> > - c $[3^{1}(\geq 4)^{2} =[34,4\cdots$ impossible car $4$ ne peut pas apparaître
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> > - c $[3^{1}X^{3} = [3X,XX$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
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> > - p $[3^{2}(\leq 2)^1 \longleftarrow [3^{3}X^{\leq 2} \longleftarrow [3^{3}X^{3}$
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> > - c $[3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3} = [33,3X,XX,\dots$ impossible
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> > - p $[3^{2}(\leq 2)^{2}$ puisque :
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> > - p $[3^{2}1^{2} \longleftarrow [3^{3}1^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$
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> > - p $[3^{2}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{3}X^{2}$
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> > - c $[3^{2} (\geq 3)^{2}$ puisque :
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> > - c $[3^{2}3^{2} = [3^{4}$ impossible
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> > - c $[3^{2}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 4}$ impossible
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> > - p $[3^{2}(\leq 2)^{3}$ puisque :
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> > - p $[3^{2}1^{3} \longleftarrow [3^{3}1^{1}X^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$
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> > - p $[3^{2}2^{3} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2}n^{X}$
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|
> > - c $[3^{2}(\geq 3)^{3}$ puisque :
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> > - c $[3^{2}3^{3} = [3^{5}$
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> > - c $[3^{2}(\geq 4)^{3} \longleftarrow [3^{3}(\geq 4)^{(\geq 4)}X^{(\geq 4)}$ impossible
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|
> > - c $[3^{3}$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]])
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|
> > - down Si $R$ commence par un $n > 3$
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> > - c $[(\geq 4)^{1} \leftarrow [X^{\geq 4}$ impossible
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> > - c $[(\geq 4)^{2} \leftarrow [n^{n}$ pour $n \geq 4$ : impossible
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> > - c de même pour tous les $[(\geq 4)^{\geq 3} \longleftarrow [n^{n}$ avec $n \geq 4$
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> >
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|
> > L'ensemble des possibilités se résume donc à :
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> > - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$
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> > - $[1^{1}X^{1}$
|
|
> > - $[1^{1}2^{2}$
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|
> > - $[1^{2}2^{\leq 3}$
|
|
> > - $[1^{3}X^{1}$ ou, plus généralement $[1^{3}$
|
|
> > - $[1^{3}2^{2}$ ou, plus généralement $[1^{3}$
|
|
> > - $[2^{1}X^{\leq 2}$
|
|
> > - $[2^{3}$
|
|
> > - $[3^{1}X^{1}$ que l'on restreint à $[3^{1}(\neq 1)^{1}$ pour éviter la superposition avec un autre cas
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|
> > - $[3^{1}(\leq 2)^{2}$
|
|
> > - $[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3}$ qui est l'une de ces deux possibilités :
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|
> > - $[3^{2}1^{\leq 3}$
|
|
> > - $[3^{2}2^{\leq 3}$
|
|
> > - $[n^{1}$
|
|
> >
|
|
> > De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés :
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|
> > ![[demo_théorème_du_début.excalidraw|700]]
|
|
> >
|
|
> > Par ailleurs, si $R$ commence par $[22$ :
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|
> > - si $R = [22]$ la preuve est triviale
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|
> > - sinon on considère un $R'$ tel que $R = [22 \cdot R'$, et on utilise l'argument précédent pour montrer que $R'$ arrive sur le cycle $[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}$
|
|
> > ---
|
|
> >
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|
> > On peut modifier cette liste :
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|
> > - en assimilant $[3^{1}X^{1}$ et $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ aux deux cas $[3^{1}X^{3}$, $[3^{1}X^{\leq 2}$
|
|
> > - en assimilant $[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3}$ aux cas $[3^{2}X^{3}$, $[3^{2}X^{\leq 2}$
|
|
> > - en assimilant $[1^{3}2^{2}$ et $[1^{3}X^{1}$ au seul cas $[1^{3}$
|
|
> > - en assimilant $[1^{2}2^{\leq 3}$ à $[1^{2}X^{1}$ (qui est déjà listé) et $[1^{2}X^{\neq 1}$
|
|
> > - en séparant $[2^{1} X^{\leq 2}$ en $[2^{1}X^{2}$ et $[2^{1}X^{\neq 2}$
|
|
> > - en ajoutant $[1^{1}3^{2}$
|
|
> > Cela nous donne la liste suivante :
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|
> > - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$
|
|
> > - $[1^{1}X^{1}$
|
|
> > - $[1^{2}X^{1}$
|
|
> > - $[1^{1}2^{2}$
|
|
> > - $[1^{1}3^{2}$
|
|
> > - $[1^{2}X^{\neq 1}$
|
|
> > - $[1^{3}$
|
|
> > - $[2^{1}X^{2}$
|
|
> > - $[2^{1}X^{\neq 2}$
|
|
> > - $[2^{3}$
|
|
> > - $[3^{1}X^{3}$
|
|
> > - $[3^{1}X^{\leq 2}$
|
|
> > - $[3^{2}X^{3}$
|
|
> > - $[3^{2}X^{\leq 2}$
|
|
> > - $[n^{1}$
|
|
> >
|
|
> > Cela nous permet d'atteindre le schéma original de Conway :
|
|
> > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408&width=800|schéma original de Conway p.186]]
|
|
^theoreme-debut
|
|
|
|
> [!proposition]+ théorème de découpage
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|
> Une chaîne $LR$ âgée de 2 jours ou plus se découpe en $L \cdot R$ seulement dans ces cas :
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|
>
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|
> | L | R |
|
|
> | --------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
|
> | $n]$ | $[m$ |
|
|
> | $2]$ | $[1^1X^1$ ou $[1^{3}$ ou $[3^{1}X^{\neq 3}$ ou $[n^{1}$ |
|
|
> | $\neq 2]$ | $[2^{2} 1^{1}X^{1}$ ou $[2^{2}1^{3}$ ou $[2^{2}3^{1}X\neq 3$ ou $[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}$ |
|
|
> avec $n \geq 4$ et $m \leq 3$
|
|
> ou bien quand l'un des deux est vide ($L = [\;\;]$ ou $R = [\;\;]$, découpages triviaux)
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > Cela suit directement du [[désintégration audioactive#^theoreme-debut|téorème du début]] appliqué à $R$, et du fait que le dernier chiffre de $L$ est constant
|
|
^theoreme-decoupage
|
|
^theoreme-de-decoupage
|
|
|
|
> [!proposition]+ Théorème de la fin
|
|
> La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles :
|
|
> ![[ attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]]
|
|
>
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > - i la position des $\cdot$ de séparation peut être aisément démontrée par le théorème de séparation, mais nous nous concentreront sur la preuve de la périodicité des fins.
|
|
> > - Une chaîne se terminant par $1$ apparaîtra nécessairement dans cette suite de dérivations (en effet, tous les cas de chaîne finissant par $1$ y sont présents) :
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|
> > $1^{\geq 3}] \longrightarrow \underbrace{(\neq 2)^{X}1^{1}]}_{\mathclap{\text{plus général que }(\geq 3)^{X}1^{1}]}} \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}2^{1}1^{1}] \longrightarrow \underbrace{2^{X\neq 2}1^{2}]}_{\mathclap{\text{fin de }(\neq 2)^{X}1^{1}2^{1}1^{2}]}} \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$
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> > Ce qui montre que toute chaîne se terminant par $1$ finit par atteindre une chaîne se terminant par $2^{3}1^{1}]$.
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> > De là, en dérivant cette fin plusieurs fois, on obtient successivement :
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> > - $\underbrace{(\neq 2)222}_{\hspace{-13ex}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}1]$
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> > - $3211]$
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> > - $31221]$
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> > - $3112211]$
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> > - $3212221]$
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> > - $312113211]$
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> > - $3111221131221]$
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> > - $\underbrace{(\neq 3)33}_{\hspace{-5em}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}1222113112211]$
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> > - $2\cdot \underbrace{\overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FCD600}322113212221]}_{\text{cycle }(1)}$
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> > - $2\cdot \color{#FCD600}13211322211312113211]$
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> > - $2\cdot \color{#FCD600}1113122113322113111221131221]$
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> > - $2 \cdot 311311222\cdot \overbracket{\color{#FCD600}12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}\color{#FCD600}322211331222113112211]$
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> > - $2\cdot 1321132132\cdot \overbracket{111}^{[1^{3}}2133\cdot \overbracket{2212}^{\mathclap{[2^{2}1^{1}X^{1}}}\cdot \underbrace{\overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FCD600}322113212221]}_{\text{cycle } (1)}$
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> >
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> > Ce qui montre bien que toute chaîne qui termine par $1$ finit par atteindre le cycle $(1)$.
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> >
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> > - Une chaîne se terminant par $n > 1$ sera dans cette suite de dérivations :
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> > ![[désintégration audioactive théorème de la fin.excalidraw|950]]
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> > Pour les cas différents de $2^{2}]$, on obtient cette suite de dérivations :
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> > - $2211n]$
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> > - $(\neq 2)2211n]$
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> > - $(\neq 2)22211n]$
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> > - $32211n]$
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> > - $322211n]$
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> > - $\underbrace{(\neq 3)33}_{\hspace{-5em}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}2211n]$
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> > - $2322211n]$
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> > - $21332211n]$
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> > - $2112322211n]$
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> > - $221121332211n]$
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> > - $22112112322211n]$
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> > - $2211221121332211n]$
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> > - $221222112112322211n]$
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> > - $21132211221121332211n]$
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> > - $221132221222112112322211n]$
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> > - $22113321132211221121332211n]$
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> > - $22\cdot \overbracket{1\color{#1BB51E}2}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}221132221222112112322211n]$
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> > - ${\color{#1BB51E}2}\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$
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|
> > - $2 \cdot \overbracket{111}^{\mathclap{[1^{3}}}32 \cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot 22 \cdot \overbracket{1\color{#378CF3}2}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{\color{#FDC600}31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FDC600}221132221222112112322211n]$
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|
> > - ${\color{#378CF3}2}\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}$
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> >
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> > Ainsi, toutes les chaînes qui se terminent par $n>1$ finissent par arriver soit au cycle $(2)$, soit au cycle $(3)$
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> >
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> > On a bien démontré que toute chaîne finit par atteindre l'un des 3 cycles décrits.
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^theoreme-fin
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## Éléments
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Avant de continuer, il est nécessaire de poser une liste particulières de 92 atomes.
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On a défini plus tôt ce qu'était un [[désintégration audioactive#^def-atome|atome]].
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On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du [[désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage|théorème de découpage]]).
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Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fait bien 92 éléments).
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> [!info]+ Liste des éléments
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> | $n$ | nom | éléments dans la dérivée | chaîne | dérivée |
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> | ------- | --- | ---------------- | ------------------------------------------ | ---------------------------------------------------- |
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> | 1 | H | H (stable) | 22 | 22 |
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> | 2 | He | Hf Pa H Ca Li | 13112221133211322112211213322112 | 11132132212312211322212221121123222112 |
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> | 3 | Li | He | 312211322212221121123222112 | 13112221133211322112211213322112 |
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> | 4 | Be | Ge Ca Li | 111312211312113221133211322112211213322112 | 3113112221131112211322212312211322212221121123222112 |
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> | 5 | B | Be | 1321132122211322212221121123222112 | 111312211312113221133211322112211213322112 |
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> | 6 | C | B | 3113112211322112211213322112 | 1321132122211322212221121123222112 |
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|
> | 7 | N | C | 111312212221121123222112 | 3113112211322112211213322112 |
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> | 8 | O | N | 132112211213322112 | 111312212221121123222112 |
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|
> | 9 | F | O | 31121123222112 | 132112211213322112 |
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|
> | 10 | Ne | F | 111213322112 | 31121123222112 |
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> | 11 | Na | Ne | 123222112 | 111213322112 |
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|
> | 12 | Mg | Pm Na | 3113322112 | 132123222112 |
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|
> | 13 | Al | Mg | 1113222112 | 3113322112 |
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|
> | 14 | Si | Al | 1322112 | 1113222112 |
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|
> | 15 | P | Ho Si | 311311222112 | 13211321322112 |
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|
> | 16 | S | P | 1113122112 | 311311222112 |
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|
> | 17 | Cl | S | 132112 | 1113122112 |
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|
> | 18 | Ar | Cl | 3112 | 132112 |
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|
> | 19 | K | Ar | 1112 | 3112 |
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|
> | 20 | Ca | K | 12 | 1112 |
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|
> | 21 | Sc | Ho Pa H Ca Co | 3113112221133112 | 132113213221232112 |
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|
> | 22 | Ti | Sc | 11131221131112 | 3113112221133112 |
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|
> | 23 | V | Ti | 13211312 | 11131221131112 |
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|
> | 24 | Cr | V | 31132 | 13211312 |
|
|
> | 25 | Mn | Cr Si | 111311222112 | 311321322112 |
|
|
> | 26 | Fe | Mn | 13122112 | 111311222112 |
|
|
> | 27 | Co | Fe | 32112 | 13122112 |
|
|
> | 28 | Ni | Zn Co | 11133112 | 31232112 |
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|
> | 29 | Cu | Ni | 131112 | 11133112 |
|
|
> | 30 | Zn | Cu | 312 | 131112 |
|
|
> | 31 | Ga | Eu Ca Ac H Ca Zn | 13221133122211332 | 11132221231132212312 |
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|
> | 32 | Ge | Ho Ga | 31131122211311122113222 | 132113213221133122211332 |
|
|
> | 33 | As | Ge Na | 11131221131211322113322112 | 31131122211311122113222123222112 |
|
|
> | 34 | Se | As | 13211321222113222112 | 11131221131211322113322112 |
|
|
> | 35 | Br | Se | 3113112211322112 | 13211321222113222112 |
|
|
> | 36 | Kr | Br | 11131221222112 | 3113112211322112 |
|
|
> | 37 | Rb | Kr | 1321122112 | 11131221222112 |
|
|
> | 38 | Sr | Rb | 3112112 | 1321122112 |
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|
> | 39 | Y | Sr U | 1112133 | 31121123 |
|
|
> | 40 | Zr | Y H Ca Tc | 12322211331222113112211 | 11121332212311322113212221 |
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|
> | 41 | Nb | Er Zr | 1113122113322113111221131221 | 31131122212322211331222113112211 |
|
|
> | 42 | Mo | Nb | 13211322211312113211 | 1113122113322113111221131221 |
|
|
> | 43 | Tc | Mo | 311322113212221 | 13211322211312113211 |
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|
> | 44 | Ru | Eu Ca Tc | 132211331222113112211 | 111322212311322113212221 |
|
|
> | 45 | Rh | Ho Ru | 311311222113111221131221 | 1321132132211331222113112211 |
|
|
> | 46 | Pd | Rh | 111312211312113211 | 311311222113111221131221 |
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|
> | 47 | Ag | Pd | 132113212221 | 111312211312113211 |
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|
> | 48 | Cd | Ag | 3113112211 | 132113212221 |
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|
> | 49 | In | Cd | 11131221 | 3113112211 |
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> | 50 | Sn | In | 13211 | 11131221 |
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> | 51 | Sb | Pm Sn | 3112221 | 13213211 |
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|
> | 52 | Te | Eu Ca Sb | 1322113312211 | 1113222123112221 |
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|
> | 53 | I | Ho Te | 311311222113111221 | 13211321322113312211 |
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|
> | 54 | Xe | I | 11131221131211 | 311311222113111221 |
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|
> | 55 | Cs | Xe | 13211321 | 11131221131211 |
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|
> | 56 | Ba | Cs | 311311 | 13211321 |
|
|
> | 57 | La | Ba | 11131 | 311311 |
|
|
> | 58 | Ce | La H Ca Co | 1321133112 | 11131221232112 |
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|
> | 59 | Pr | Ce | 31131112 | 1321133112 |
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|
> | 60 | Nd | Pr | 111312 | 31131112 |
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|
> | 61 | Pm | Nd | 132 | 111312 |
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> | 62 | Sm | Pm Ca Zn | 311332 | 13212312 |
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|
> | 63 | Eu | Sm | 1113222 | 311332 |
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|
> | 64 | Gd | Eu Ca Co | 13221133112 | 11132221232112 |
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> | 65 | Tb | Ho Gd | 3113112221131112 | 132113213221133112 |
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> | 66 | Dy | Tb | 111312211312 | 3113112221131112 |
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> | 67 | Ho | Dy | 1321132 | 111312211312 |
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> | 68 | Er | Ho Pm | 311311222 | 1321132132 |
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> | 69 | Tm | Er Ca Co | 11131221133112 | 3113112221232112 |
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> | 70 | Yb | Tm | 1321131112 | 11131221133112 |
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> | 71 | Lu | Yb | 311312 | 1321131112 |
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> | 72 | Hf | Lu | 11132 | 311312 |
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> | 73 | Ta | Hf Pa H Ca W | 13112221133211322112211213322113 | 11132132212312211322212221121123222113 |
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> | 74 | W | Ta | 312211322212221121123222113 | 13112221133211322112211213322113 |
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> | 75 | Re | Ge Ca W | 111312211312113221133211322112211213322113 | 3113112221131112211322212312211322212221121123222113 |
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> | 76 | Os | Re | 1321132122211322212221121123222113 | 111312211312113221133211322112211213322113 |
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> | 77 | Ir | Os | 3113112211322112211213322113 | 1321132122211322212221121123222113 |
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> | 78 | Pt | Ir | 111312212221121123222113 | 3113112211322112211213322113 |
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> | 79 | Au | Pt | 132112211213322113 | 111312212221121123222113 |
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> | 80 | Hg | Au | 31121123222113 | 132112211213322113 |
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> | 81 | Tl | Hg | 111213322113 | 31121123222113 |
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> | 82 | Pb | Tl | 123222113 | 111213322113 |
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> | 83 | Bi | Pm Pb | 3113322113 | 132123222113 |
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> | 84 | Po | Bi | 1113222113 | 3113322113 |
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> | 85 | At | Po | 1322113 | 1113222113 |
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> | 86 | Rn | Ho At | 311311222113 | 13211321322113 |
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> | 87 | Fr | Rn | 1113122113 | 311311222113 |
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> | 88 | Ra | Fr | 132113 | 1113122113 |
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> | 89 | Ac | Ra | 3113 | 132113 |
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> | 90 | Th | Ac | 1113 | 3113 |
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> | 91 | Pa | Th | 13 | 1113 |
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> | 92 | U | Pa | 3 | 13 |
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^liste-elements
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- Par la suite, on notera $E_{n}$ l'élément de numéro $n$ (par exemple, $E_1$ correspond à l'hydrogène, $22$)
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## Théorèmes sur les éléments
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> [!proposition]+ Théorème chimique
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> 1. les descendents de chacun des 92 éléments sont des composés de ces éléments
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> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad A \longrightarrow X_1\cdot X_2\cdot \cdots \quad \text{ où }X_1,X_2,\dots \text{ sont des éléments}$
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> 2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène $22$) contiennent simultanément les 92 éléments.
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> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad \exists n\in \mathbb{N},\quad A \longrightarrow^{(n)} X \quad \text{où } X \text{ contient tous les 92 éléments}$
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> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent par contenir les 92 éléments simultanément.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
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2. Cela est également montré par la table des élément.
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En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$.
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Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$
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Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$
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Ainsi on obtient que :
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- $E_{n} \xrightarrow{n-1} \ce{Hf} \& \ce{Li}$ (dès que $n\geq 2$)
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- $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2 \text{ ou } 71} \ce{Hf}\&\ce{Li}$ (car $\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$)
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- $\ce{Hf} \xrightarrow{34} \ce{Sr}\& \ce{U}$
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- $\ce{U} \xrightarrow{92-n} E_{n}$
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De ces propriétés, on peut déduire que si l'un des éléments (sauf l'Hydrogène) contenu dans une chaîne $C_{t_0}$ à une étape $t_0$, alors :
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- $C_{t_0 + 100}$ contiendra simultanément du Hafnium et du Lithium
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- $$
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- = $\ce{He -> Hf.Pa.H.Ca.Li}$
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# Exemples
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