cours/désintégration audioactive.md

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suites particulières S2 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes . rendu	s/maths	suite look-and-say audioactive decay look-and-say sequence	John Horton Conway	state off

[!definition] désintégration audioactive La règle de définition est : a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots ^definition

Notations

• On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres

• On pourra noter ,12,23,11, : les virgules précisent le "parsing", c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne

  • = \dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots mais 122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots même si 122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots

• L \longrightarrow L' signifie que L est dérivée en L' par désintégration audioactive

  • On note aussi L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots pour L \longrightarrow L' et L' \longrightarrow L'' et L'' \longrightarrow \cdots

• L_{n} est le n^{\text{ème}} descendant de L (le résultat de n dérivations de L)

  • évidemment : L_0 = L et L_{n} \to L_{n+1}
  • i on peut noter L \xrightarrow{n} L_{n}

• On utilise [ et ] pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme)

  • = [11222 correspond à 11 222\cdots

• On utilise les puissances pour la répétition

  • = 3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111
  • i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, 11111 ne sera jamais noté comme 1^{2}1^{3}) (cela est important pour les premiers théorèmes)

• X désigne un chiffre arbitraire (non nul)

  • = X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} correspond à [a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}
  • = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0} correspond à a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]
  • = 2^{2}X^{2} correspond à l'une de : 2^{2}1^{2},\quad 2^{2}3^{2},\quad 2^{2}4^{2},\quad 2^{2}5^{2}, \dots (mais pas à 2^{2}2^{2} = 2^{4})
  • = 2^{X} correspond à l'une de : 2,\quad 2^{2},\quad 2^{3},\quad 2^{4}, \dots (mais ne peut pas être vide)

• \neq n désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que n

  • = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0} signifie a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} suivi d'au moins un autre chiffre
  • = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0} signifie que ce dernier chiffre n'est pas un 2

• = n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\longrightarrow} n^{\neq n}] \to n'

• On utilisera des analogies temporelles pour désigner le nombre de dérivations :

  • "après 1 jour" pour "après une dérivation"
  • "chaine âgée d'au moins 2 jour" pour "chaine issue de 2 dérivations successives"
  • "après un certain temps" pour "après un certain nombre de dérivations"

• On notera E_{n} l'élément de numéro n (voir le désintégration audioactive#^liste-elements)

Propriétés

[!proposition]+ conséquence du regroupement Pour une étape : a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots Il est évident que : a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots

• dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands \alpha, \beta, \gamma, \delta\dots possibles ^regroupement

Atomes

[!definition] Découpage Parfois, une chaîne LR est telle que les descendants de L et de R n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que : \forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n} On dit alors que LR se découpe en L . R

• i on note alors L \cdot R
• i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de L_{n} est toujours différent du premier chiffre de R_{n} (ou bien quand l'une des deux est vide)

---

• def On appelle trivial un découpage du type [\;]\cdot L ou L\cdot [\;] ^def-decoupage

[!definition] Atome Les atomes (ou éléments) sont les chaînes qui ne possèdent pas de désintégration audioactive#^def-decoupage non trivial. ^def-atome

• i toute chaîne est composée d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne comprends lesdits éléments.

Théorèmes préliminaires

[!proposition]+ Théorème du jour 1 Les morceaux de type :

1. ,ax,bx,
2. x^{\geq 4}
3. x^{3}y^{3}

n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.

[!démonstration]- Démonstration

1. ,ax,bx,
   • ! ce premier morceau à un parsing donné La première possibilité doit venir de x^{a}x^{b} qui aurait du être écrit x^{a+b} dans la chaîne du jour précédent.
2. x^{\geq 4} soit x^{n} pour n \geq 4 On peut parser cette expression de plusieurs manières.
   • si n est pair : ,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}}, et au minimum ,xx,xx, pour n = 4. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces x : x^{2\times x} n'est pas dérivé en xx,xx mais en (2\times x)x L'autre parsing possible est x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x ce qui donne, à nouveau, le même résultat : ,x,x^{k},x, n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en (k+2)x
   • si n est impair : (n\geq 5) A nouveau, ni ,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x, ni [x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}}, ne sont des dérivations correctes
3. x^{3}y^{3} Encore une fois, considérons les parsing possibles :
   • ,xx,xy,yy, ne peut pas exister, puisque ,xy,yy, aurait du être dérivé en un ,ky,
   • [x,xx,yy,y] ne peut pas exister puisque \alpha x,x x aurait du être dérivé en (\alpha+x) x Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation. ^thm-jour-1

[!proposition]+ Théorème du jour 2

• Aucun chiffre \geq 4 ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent).
• Un morceau 3 X 3 (en particulier 3^{3}) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.

[!démonstration]- Démonstration

• Un chiffre \geq 4 devrait venir d'un x^{\geq 4}, on on sait par le désintégration audioactive#^thm-jour-1 qu'un tel x^{\geq 4} ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre \geq 4 ne peut pas apparaître après le jour 2
  • i un chiffre k>1 quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient ,x^{k}, puisque ,x^{k}, \to ,kx,
• Un morceau 3X 3 ne peut pas être parsé comme 3,x 3, y puisque l'on aurait alors ,\alpha 3, x 3, y mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner ,\alpha 3,x 3,) On doit donc nécessairement parser 3X 3 comme ,3x,3y,. Pour obtenir ,3x,3y,, on doit avoir obtenu x^{3}y^{3} au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le désintégration audioactive#^thm-jour-1). Cela montre bien que 3X 3 est impossible dès le jour 2. ^thm-jour-2

[!proposition]+ Théorème du début Soit R un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus. Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :

• \overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots
• \overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow
• \overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots
• \overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots

[!démonstration]- Démonstration Explorons les valeurs possibles de R en supposant que R est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par 2^{2}. Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes désintégration audioactive#^thm-jour-1 et désintégration audioactive#^thm-jour-2) :

• Si R commence par 1
  • Si R commence par 1^{1}
    • c [1^{1}] impossible car ne peut pas être dérivé
    • p [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1} \leftarrow [(\neq X)^{X} car X^{X} \longrightarrow XX \longrightarrow 2X
    • down [1^{1}X^{2} se divise en plusieurs cas, le seul possible étant [1^{1}2^{2}
      • right [1^{1}1^{2} = [1^{3} que l'on traitera plus tard
      • p [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}(\neq X)^{X}
      • c [1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3} = [3X,XX, impossible car de la forme ,aX,bX, (désintégration audioactive#^thm-jour-1)
      • c [1^{1}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [(\geq 4)^{1}X^{\geq 4} impossible au désintégration audioactive#^thm-jour-1
    • c [1^{1}X^{3} = [1X,XX, impossible car de la forme ,aX,bX, (désintégration audioactive#^thm-jour-1)
    • c [1^{1}X^{n\geq 4} impossible puisque X^{n\geq 4} est impossible dès le désintégration audioactive#^thm-jour-1
  • Si R commence par 1^{2} on R= [1^{2}2^{\leq 3}
    • right [1^{2}1^{1} = [1^{3}
    • c [1^{2}1^{\geq2} = [1^{\geq 4} impossible
    • p [1^{2}2^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{1}n^{X}
    • p [1^{2}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}
    • p [1^{2}2^{3} \longleftarrow [1^{1}2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}n^{X}
    • c [1^{2}2^{\geq 4} impossible
    • c [1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3} impossible car ,1X,XX, est impossible
    • c [1^{2}(X\geq 4) impossible par le désintégration audioactive#^thm-jour-2
  • Si R commence par 1^{3} on a R = [1^{3}X^{1} \text{ ou } [1^{3}2^{2}
    • p [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}
    • p [1^{3}2^{2}
      • [1^{3}1^{2} est évidemment exclus
      • p [1^{3}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{X}
      • c [1^{3}2^{3} = [11,12,22 impossible
      • c [1^{3}2^{\geq 4} impossible
    • c [1^{3}X^{3}=[11,1X,XX impossible
• Si R commence par 2 alors R= [2^{1}X^{\leq 2}
  • down [2^{1}X considérons les différentes possibilités :
    • p [2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}
    • p [2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}
    • c [2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots impossible
  • c [2^{2} impossible par supposition car commencerait par [22
  • p [2^{3} \longleftarrow [2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{2}X^{X}
  • c [2^{\geq 4} évidemment
• Si R commence par 3 alors R =[3^{\leq 2}(\leq 2)^{2} \text{ ou } [3^{2}(\leq 2)^{1} \text{ ou } [3^{3}(\leq 2)^{3}
  • p [3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}
  • p [3^{1}(\leq 2)^{2} puisque :
    • p [3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}
    • p [3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2} possible si X \neq 2
  • c [3^{1}(\geq 3)^{2} puisque:
    • c [3^{1}3^{2}=[3^{3} impossible
    • c [3^{1}(\geq 4)^{2} =[34,4\cdots impossible car 4 ne peut pas apparaître
  • c [3^{1}X^{3} = [3X,XX impossible (désintégration audioactive#^thm-jour-1)
  • p [3^{2}(\leq 2)^1 \longleftarrow [3^{3}X^{\leq 2} \longleftarrow [3^{3}X^{3}
  • c [3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3} = [33,3X,XX,\dots impossible
  • p [3^{2}(\leq 2)^{2} puisque :
    • p [3^{2}1^{2} \longleftarrow [3^{3}1^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}
    • p [3^{2}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{3}X^{2}
  • c [3^{2} (\geq 3)^{2} puisque :
    • c [3^{2}3^{2} = [3^{4} impossible
    • c [3^{2}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 4} impossible
  • p [3^{2}(\leq 2)^{3} puisque :
    • p [3^{2}1^{3} \longleftarrow [3^{3}1^{1}X^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}
    • p [3^{2}2^{3} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2}n^{X}
  • c [3^{2}(\geq 3)^{3} puisque :
    • c [3^{2}3^{3} = [3^{5}
    • c [3^{2}(\geq 4)^{3} \longleftarrow [3^{3}(\geq 4)^{(\geq 4)}X^{(\geq 4)} impossible
  • c [3^{3} impossible (désintégration audioactive#^thm-jour-2)
• down Si R commence par un n > 3
  • c [(\geq 4)^{1} \leftarrow [X^{\geq 4} impossible
  • c [(\geq 4)^{2} \leftarrow [n^{n} pour n \geq 4 : impossible
  • c de même pour tous les [(\geq 4)^{\geq 3} \longleftarrow [n^{n} avec n \geq 4

L'ensemble des possibilités se résume donc à :

• [1^{1}] = [1^{1}X^{0}
• [1^{1}X^{1}
• [1^{1}2^{2}
• [1^{2}2^{\leq 3}
• [1^{3}X^{1} ou, plus généralement [1^{3}
• [1^{3}2^{2} ou, plus généralement [1^{3}
• [2^{1}X^{\leq 2}
• [2^{3}
• [3^{1}X^{1} que l'on restreint à [3^{1}(\neq 1)^{1} pour éviter la superposition avec un autre cas
• [3^{1}(\leq 2)^{2}
• [3^{2}(\leq 2)^{\leq 3} qui est l'une de ces deux possibilités :
  • [3^{2}1^{\leq 3}
  • [3^{2}2^{\leq 3}
• [n^{1}

De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés : !demo_théorème_du_début.excalidraw

Par ailleurs, si R commence par [22 :

• si R = [22] la preuve est triviale
• sinon on considère un R' tel que R = [22 \cdot R', et on utilise l'argument précédent pour montrer que R' arrive sur le cycle [1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}

---

On peut modifier cette liste :

• en assimilant [3^{1}X^{1} et [3^{1}(\leq 2)^{2} aux deux cas [3^{1}X^{3}, [3^{1}X^{\leq 2}
• en assimilant [3^{2}(\leq 2)^{\leq 3} aux cas [3^{2}X^{3}, [3^{2}X^{\leq 2}
• en assimilant [1^{3}2^{2} et [1^{3}X^{1} au seul cas [1^{3}
• en assimilant [1^{2}2^{\leq 3} à [1^{2}X^{1} (qui est déjà listé) et [1^{2}X^{\neq 1}
• en séparant [2^{1} X^{\leq 2} en [2^{1}X^{2} et [2^{1}X^{\neq 2}
• en ajoutant [1^{1}3^{2} Cela nous donne la liste suivante :
• [1^{1}] = [1^{1}X^{0}
• [1^{1}X^{1}
• [1^{2}X^{1}
• [1^{1}2^{2}
• [1^{1}3^{2}
• [1^{2}X^{\neq 1}
• [1^{3}
• [2^{1}X^{2}
• [2^{1}X^{\neq 2}
• [2^{3}
• [3^{1}X^{3}
• [3^{1}X^{\leq 2}
• [3^{2}X^{3}
• [3^{2}X^{\leq 2}
• [n^{1}

Cela nous permet d'atteindre le schéma original de Conway : !schéma original de Conway p.186 ^theoreme-debut

[!proposition]+ théorème de découpage Une chaîne LR âgée de 2 jours ou plus se découpe en L \cdot R seulement dans ces cas :

L	R
n]	[m
2]	[1^1X^1 ou [1^{3} ou [3^{1}X^{\neq 3} ou [n^{1}
\neq 2]	[2^{2} 1^{1}X^{1} ou [2^{2}1^{3} ou [2^{2}3^{1}X\neq 3 ou [2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}
avec n \geq 4 et m \leq 3
ou bien quand l'un des deux est vide (L = [\;\;] ou R = [\;\;], découpages triviaux)

[!démonstration]- Démonstration Cela suit directement du désintégration audioactive#^theoreme-debut appliqué à R, et du fait que le dernier chiffre de L est constant ^theoreme-decoupage ^theoreme-de-decoupage

[!proposition]+ Théorème de la fin La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles : ! attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw

[!démonstration]- Démonstration

• i la position des \cdot de séparation peut être aisément démontrée par le théorème de séparation, mais nous nous concentreront sur la preuve de la périodicité des fins.

• Une chaîne se terminant par 1 apparaîtra nécessairement dans cette suite de dérivations (en effet, tous les cas de chaîne finissant par 1 y sont présents) : 1^{\geq 3}] \longrightarrow \underbrace{(\neq 2)^{X}1^{1}]}_{\mathclap{\text{plus général que }(\geq 3)^{X}1^{1}]}} \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}2^{1}1^{1}] \longrightarrow \underbrace{2^{X\neq 2}1^{2}]}_{\mathclap{\text{fin de }(\neq 2)^{X}1^{1}2^{1}1^{2}]}} \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}] Ce qui montre que toute chaîne se terminant par 1 finit par atteindre une chaîne se terminant par 2^{3}1^{1}]. De là, en dérivant cette fin plusieurs fois, on obtient successivement :

  • \underbrace{(\neq 2)222}_{\hspace{-13ex}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}1]
  • 3211]
  • 31221]
  • 3112211]
  • 3212221]
  • 312113211]
  • 3111221131221]
  • \underbrace{(\neq 3)33}_{\hspace{-5em}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}1222113112211]
  • 2\cdot \underbrace{\overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FCD600}322113212221]}_{\text{cycle }(1)}
  • 2\cdot \color{#FCD600}13211322211312113211]
  • 2\cdot \color{#FCD600}1113122113322113111221131221]
  • 2 \cdot 311311222\cdot \overbracket{\color{#FCD600}12}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}}\color{#FCD600}322211331222113112211]
  • 2\cdot 1321132132\cdot \overbracket{111}^{[1^{3}}2133\cdot \overbracket{2212}^{\mathclap{[2^{2}1^{1}X^{1}}}\cdot \underbrace{\overbracket{\color{#FCD600}311}^{\mathclap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FCD600}322113212221]}_{\text{cycle } (1)}

  Ce qui montre bien que toute chaîne qui termine par 1 finit par atteindre le cycle (1).

• Une chaîne se terminant par n > 1 sera dans cette suite de dérivations : !désintégration audioactive théorème de la fin.excalidraw Pour les cas différents de 2^{2}], on obtient cette suite de dérivations :

  • 2211n]
  • (\neq 2)2211n]
  • (\neq 2)22211n]
  • 32211n]
  • 322211n]
  • \underbrace{(\neq 3)33}_{\hspace{-5em}\mathrlap{\text{Par le thm. du jour 2}}}2211n]
  • 2322211n]
  • 21332211n]
  • 2112322211n]
  • 221121332211n]
  • 22112112322211n]
  • 2211221121332211n]
  • 221222112112322211n]
  • 21132211221121332211n]
  • 221132221222112112322211n]
  • 22113321132211221121332211n]
  • 22\cdot \overbracket{1\color{#1BB51E}2}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}221132221222112112322211n]
  • {\color{#1BB51E}2}\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}
  • 2 \cdot \overbracket{111}^{\mathclap{[1^{3}}}32 \cdot \overbracket{13}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot 22 \cdot \overbracket{1\color{#378CF3}2}^{\mathclap{[1^{1}X^{1}}} \cdot \overbracket{\color{#FDC600}31}^{\hspace{-4ex}\mathrlap{[3^{1}X^{\neq 3}}}\color{#FDC600}221132221222112112322211n]
  • {\color{#378CF3}2}\cdot \underbrace{\color{#FDC600}1311222113321132211221121332211n]}_{\text{cycle } (2)}

  Ainsi, toutes les chaînes qui se terminent par n>1 finissent par arriver soit au cycle (2), soit au cycle (3)

On a bien démontré que toute chaîne finit par atteindre l'un des 3 cycles décrits. ^theoreme-fin

Éléments

Avant de continuer, il est nécessaire de poser une liste particulières de 92 atomes. On a défini plus tôt ce qu'était un désintégration audioactive#^def-atome. On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage). Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fait bien 92 éléments).

[!info]+ Liste des éléments

n	nom	éléments dans la dérivée	chaîne	dérivée
1	H	H (stable)	22	22
2	He	Hf Pa H Ca Li	13112221133211322112211213322112	11132132212312211322212221121123222112
3	Li	He	312211322212221121123222112	13112221133211322112211213322112
4	Be	Ge Ca Li	111312211312113221133211322112211213322112	3113112221131112211322212312211322212221121123222112
5	B	Be	1321132122211322212221121123222112	111312211312113221133211322112211213322112
6	C	B	3113112211322112211213322112	1321132122211322212221121123222112
7	N	C	111312212221121123222112	3113112211322112211213322112
8	O	N	132112211213322112	111312212221121123222112
9	F	O	31121123222112	132112211213322112
10	Ne	F	111213322112	31121123222112
11	Na	Ne	123222112	111213322112
12	Mg	Pm Na	3113322112	132123222112
13	Al	Mg	1113222112	3113322112
14	Si	Al	1322112	1113222112
15	P	Ho Si	311311222112	13211321322112
16	S	P	1113122112	311311222112
17	Cl	S	132112	1113122112
18	Ar	Cl	3112	132112
19	K	Ar	1112	3112
20	Ca	K	12	1112
21	Sc	Ho Pa H Ca Co	3113112221133112	132113213221232112
22	Ti	Sc	11131221131112	3113112221133112
23	V	Ti	13211312	11131221131112
24	Cr	V	31132	13211312
25	Mn	Cr Si	111311222112	311321322112
26	Fe	Mn	13122112	111311222112
27	Co	Fe	32112	13122112
28	Ni	Zn Co	11133112	31232112
29	Cu	Ni	131112	11133112
30	Zn	Cu	312	131112
31	Ga	Eu Ca Ac H Ca Zn	13221133122211332	11132221231132212312
32	Ge	Ho Ga	31131122211311122113222	132113213221133122211332
33	As	Ge Na	11131221131211322113322112	31131122211311122113222123222112
34	Se	As	13211321222113222112	11131221131211322113322112
35	Br	Se	3113112211322112	13211321222113222112
36	Kr	Br	11131221222112	3113112211322112
37	Rb	Kr	1321122112	11131221222112
38	Sr	Rb	3112112	1321122112
39	Y	Sr U	1112133	31121123
40	Zr	Y H Ca Tc	12322211331222113112211	11121332212311322113212221
41	Nb	Er Zr	1113122113322113111221131221	31131122212322211331222113112211
42	Mo	Nb	13211322211312113211	1113122113322113111221131221
43	Tc	Mo	311322113212221	13211322211312113211
44	Ru	Eu Ca Tc	132211331222113112211	111322212311322113212221
45	Rh	Ho Ru	311311222113111221131221	1321132132211331222113112211
46	Pd	Rh	111312211312113211	311311222113111221131221
47	Ag	Pd	132113212221	111312211312113211
48	Cd	Ag	3113112211	132113212221
49	In	Cd	11131221	3113112211
50	Sn	In	13211	11131221
51	Sb	Pm Sn	3112221	13213211
52	Te	Eu Ca Sb	1322113312211	1113222123112221
53	I	Ho Te	311311222113111221	13211321322113312211
54	Xe	I	11131221131211	311311222113111221
55	Cs	Xe	13211321	11131221131211
56	Ba	Cs	311311	13211321
57	La	Ba	11131	311311
58	Ce	La H Ca Co	1321133112	11131221232112
59	Pr	Ce	31131112	1321133112
60	Nd	Pr	111312	31131112
61	Pm	Nd	132	111312
62	Sm	Pm Ca Zn	311332	13212312
63	Eu	Sm	1113222	311332
64	Gd	Eu Ca Co	13221133112	11132221232112
65	Tb	Ho Gd	3113112221131112	132113213221133112
66	Dy	Tb	111312211312	3113112221131112
67	Ho	Dy	1321132	111312211312
68	Er	Ho Pm	311311222	1321132132
69	Tm	Er Ca Co	11131221133112	3113112221232112
70	Yb	Tm	1321131112	11131221133112
71	Lu	Yb	311312	1321131112
72	Hf	Lu	11132	311312
73	Ta	Hf Pa H Ca W	13112221133211322112211213322113	11132132212312211322212221121123222113
74	W	Ta	312211322212221121123222113	13112221133211322112211213322113
75	Re	Ge Ca W	111312211312113221133211322112211213322113	3113112221131112211322212312211322212221121123222113
76	Os	Re	1321132122211322212221121123222113	111312211312113221133211322112211213322113
77	Ir	Os	3113112211322112211213322113	1321132122211322212221121123222113
78	Pt	Ir	111312212221121123222113	3113112211322112211213322113
79	Au	Pt	132112211213322113	111312212221121123222113
80	Hg	Au	31121123222113	132112211213322113
81	Tl	Hg	111213322113	31121123222113
82	Pb	Tl	123222113	111213322113
83	Bi	Pm Pb	3113322113	132123222113
84	Po	Bi	1113222113	3113322113
85	At	Po	1322113	1113222113
86	Rn	Ho At	311311222113	13211321322113
87	Fr	Rn	1113122113	311311222113
88	Ra	Fr	132113	1113122113
89	Ac	Ra	3113	132113
90	Th	Ac	1113	3113
91	Pa	Th	13	1113
92	U	Pa	3	13
^liste-elements

• Par la suite, on notera E_{n} l'élément de numéro n (par exemple, E_1 correspond à l'hydrogène, 22)

Théorèmes sur les éléments

[!proposition]+ Théorème chimique

1. les descendents de chacun des 92 éléments sont des composés de ces éléments Autrement dit : \forall A \text{ élément},\quad A \longrightarrow X_1\cdot X_2\cdot \cdots \quad \text{ où }X_1,X_2,\dots \text{ sont des éléments}
2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène 22) contiennent simultanément les 92 éléments. Autrement dit : \forall A \text{ élément},\quad \exists n\in \mathbb{N},\quad A \longrightarrow^{(n)} X \quad \text{où } X \text{ contient tous les 92 éléments}
3. Les descendants de toutes les chaînes autres que [\;] et [22] finissent par contenir les 92 éléments simultanément.

[!démonstration]- Démonstration

1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
2. Cela est également montré par la table des élément. En effet, pour tout E_{n} (pour n\geq 2) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément E_{n-1}. Pour plus de clarté, on utilisera la notation E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots au lieu de \forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots Ainsi, si l'on considère une chaine C telle que l'élément E_{n} apparaît après t dérivations (dans C_{t}), et soit m\leq n on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément E_{m} (colonne "éléments dans la dérivée", ligne m du tableau) seront présents après t+n-m dérivations (dans C_{t+n-m}). Autrement dit : E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m} Ainsi on obtient que :
   • E_{n} \xrightarrow{n-1} \ce{Hf} \& \ce{Li} (dès que n\geq 2)
   • \ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2 \text{ ou } 71} \ce{Hf}\&\ce{Li} (car \ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li})
   • \ce{Hf} \xrightarrow{34} \ce{Sr}\& \ce{U}
   • \ce{U} \xrightarrow{92-n} E_{n} De ces propriétés, on peut déduire que si l'un des éléments (sauf l'Hydrogène) contenu dans une chaîne C_{t_0} à une étape t_0, alors :
   • C_{t_0 + 100} contiendra simultanément du Hafnium et du Lithium

• = \ce{He -> Hf.Pa.H.Ca.Li}

Exemples