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up::[[arithmétique]]
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title::"$d = \mathrm{pgcd}(a;b) \implies \exists (u;v)\in \mathbb{Z}^{2}, au+bv=d$"
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#s/maths/arithmétique
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> [!definition] Théorème de Bézout
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> Soit $(a, b)\in(\mathbb N^*)^2$,
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> Soit $d = \mathrm{pgcd}(a; b)$,
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> $\exists(u, v)\in\mathbb Z^2, au+bv = d$
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^definition
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C'est-à-dire que, soient deux nombres entiers naturels non nuls, il existe toujours une [[combinaison linéaire]] (a coefficients entiers relatifs) des deux nombre qui est égale au [[PGCD]] de ces deux nombres.
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Ces deux coefficients, $u$ et $v$, sont appelés [[coefficients de Bézout]]
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# Corollaires
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## Corollaire 1
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Pour tout $d\in\Z$, si $d\mid a$ et $d\mid b$, alors $d\mid \text{pgcd}(a; b)$
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- Si $d=0$, $d\not\mid a$ et $d\not\mid b$ donc, on peut dire $d\in\Z^*$
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- Démonstration :
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- $d\mid au$ et $d\mid bv$ donc $d|au+bv$ soit $d|\text{pgcd}(a;b)$
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## Corollaire 2
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deux entiers sont [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] ssi il existe $u, v\in\Z$ tels que $au + bv = 1$
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- Démonstration :
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- on suppose qu'il existe $u,b\in\Z$ tels que $au+bv=1$
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- comme $\text{pgcd}(a;b)|a$, alors $\text{pgcd}(a;b)|au$
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- de même, $\text{pgcd}(a;b)|bv$
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- donc $\text{pgcd}(a;b)|au + bv$
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- donc $\text{pgcd}(a;b) = 1$
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- dans l'autre sens, si $a$ et $b$ sont [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]], leur $\text{pgcd}$ est égal à un par définition
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## Lemme de Gauss
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si $a\mid bc$ et $\text{pgcd}(a;b) = 1$, alors $a\mid c$
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- lemme de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]
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- autrement dit : si $a$ et $b$ sont [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]], alors $a\mid bc \implies a\mid c$
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