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up::[[arithmétique]]
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#s/maths/arithmétique
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> [!proposition]+ théorème chinois
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> Soient $m$ et $n$ [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]]
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> On a l'[[isomorphisme de groupes]] suivant :
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> $\boxed{\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}}$
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^theoreme
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> [!proposition]- Théorème chinois - énoncé arithmétique
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> Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geq 2$
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> Soit $(m_{n}) \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}^{*}}$ une suite de nombres deux-à-deux **[[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]]**
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> Soit $(a_{n}) \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}^{*}}$ une suite
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> Le système :
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> $\begin{cases} x \equiv a_1 [m_1]\\ x\equiv a_2[m_2]\\ \vdots\\ x\equiv a_{n}[m_{n}] \end{cases}$
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> Admet une **unique solution** modulo $m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_{n}$
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> Soit $p = \prod\limits_{k=1}^{n} m_{n}$, cette solution est une classe de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ par la relation $\equiv$
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> Soit $(M_{i})$ la suite telle que $M_{i} = \dfrac{p}{m_{i}}$
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> Soit $(y_{n})$ la suite telle que $y_{i} M_{i} \equiv 1 [m_{i}]$
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> Et on a :
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> $x = a_1M_1y_1 + a_2M_2y_2 + \cdots + a_{n}M_{n}y_{n}$
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^enonce-arithmetique
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$$
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\forall n \in \mathbb{N}, n\geq 2 \implies \forall a\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}, \forall m\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}, \forall (i, j) \in \mathbb{N}^{2},
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$$
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> [!démonstration]- Démonstration
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