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alias: [ "supplémentaires" ]
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up::[[somme d'espaces vectoriels]]
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sibling::[[somme directe d'espaces vectoriels]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Sous espaces vectoriels supplémentaires
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> Soient $F$ et $G$ deux [[sous espace vectoriel|sous espaces vectoriels]] de $E$
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> $F$ et $G$ sont **supplémentaires dans $E$** ssi $F \oplus G = E$, c'est-à-dire qu'ils sont en [[somme directe d'espaces vectoriels|somme directe]] dans $E$.
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> Par définition, $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ ssi :
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> - $F + G = E$ (leur [[somme d'espaces vectoriels|somme]] reconstitue $E$)
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> - $F \cap G = \{ 0_{E} \}$ (cette somme est [[somme directe d'espaces vectoriels|directe]])
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^definition
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> [!definition] Autre définition
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> $F$ et $G$ sont _supplémentaires dans $E$_ ssi tout élément de $E$ s'écrit de manière unique comme la somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$
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# Définitions
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- $\forall w \in E, \exists!(u;v)\in F \times G, u+v = w$
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- $F \cap G = \{0_{E}\}$ et $F+G = E$
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