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aliases:
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- borné
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up:: [[espace métrique]], [[boule]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] partie bornée d'un espace métrique
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Une partie $A \subset X$ est dite **bornée** s'il existe $x_0 \in X$ et $r > 0$ tels que $A \subset B(x_0, r)$
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> $\exists x_0 \in X, \quad \exists r >0, \quad A \subset B(x_0, r)$
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^definition
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> [!definition] partie bornée - définition à partir du diamètre
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Une partie $A \subset X$ est dite **bornée** si son [[diamètre]] est fini, autrement dit si :
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> $\operatorname{Diam}(A) = \sup\limits_{x, y \in A} d(x, y)$ est fini
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# Propriétés
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> [!info] Proposition
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> Si $A$ est une partie bornée de $X$, alors $\mathrm{diam}(A) < \infty$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soient $x_0 \in X$ et $r > 0$ tels que $A \subset B(x_0, r)$
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> > Soient $x, y \in A$
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> > on a $x, y \in B(x_0, r)$, c'est-à-dire $d(x, x_0) < r$ et $d(y, x_0) < r$
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> > Par l'[[inégalité triangulaire]] :
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> > $\begin{align} d(x, y) &\leq d(x, x_0) + d(x_0, y)\\&\leq r +r\\ &\leq 2r \end{align}$
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> > En prenant le $\sup$
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> > $\mathrm{diam}(A) = \sup_{x, y \in A} d(x, y) \leq 2r$
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> [!info] Proposition
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> Soit $(X, d)$ [[espace métrique]]
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> soit $x_0 \in X$
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> - $\forall r_1, r_2 > 0, \quad r_1 < r_2 \implies B(x_0, r_1) \subset \overline{B}(x_0, r_1) \subset B(x_0, r_2)$
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> - Si $x_1, x_2 \in X$, si $r_1, r_2 > 0$ et si $r_2 \geq r_1 + d(x_1, x_2)$, alors $B(x_1, r_1) \subset B(x_2, r_2)$ et $\overline{B}(x_1, r_1) \subset \overline{B}(x_2, r_2)$
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- [x] #task démontrer la prop. précédente ⏳ 2024-09-12 ✅ 2025-04-25
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