cours/mesure produit.md

up:: mesure positive d'une application, tribu produit #s/maths/intégration

[!definition] Définition Soient (E, \mathcal{A}, \mu) et (F, \mathcal{B}, \nu) deux espace mesuré que l'on suppose mesure sigma finie Il existe une unique mesure positive d'une application m sur (E \times A, \mathcal{A}\otimes \mathcal{B}) l'tribu produit telle que \forall A \in \mathcal{A}, \forall B \in \mathcal{B},\quad m(A \times B) = \mu(A) \nu(B) avec la convention 0 \times (+\infty) = 0 On note alors m = \mu \otimes \nu et on appelle cette mesure la mesure produit de \mu et \nu ^definition

démonstration de l'unicité de la mesure produit

Propriétés

[!proposition]+ Associativité Soient \mu, \nu, \eta trois mesure positive d'une application, on a : (\mu \otimes \nu) \otimes \eta = \mu \otimes (\nu \otimes \eta) autrement dit, \otimes est associativité

Exemples

[!example] tribu borélienne avec la mesure de Lebesgue (\mathbb{R} \times \mathbb{R}, \underbrace{\mathcal{B(\mathbb{R})} \otimes \mathcal{B(\mathbb{R})}}_{\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})}, \lambda \otimes \lambda)

Et, plus généralement :

(\mathbb{R}^{n}, \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}), \lambda^{\otimes n})