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- "[[points critiques d'une fonction]]"
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- "[[fonction de plusieurs variables]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] matrice hessienne
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> Soit une fonction $\begin{align} f :\;& \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\\&(x_1, x_2, \dots ,x_{n}) \mapsto f(x_1,\dots,x_{n}) \end{align}$
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>
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> Dont toutes les [[dérivée partielle|dérivées partielles]] secondes existent.
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> La matrice hessienne de $f$, $H(f)$ est définie comme :
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>
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> $\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }$
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>
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> Donc :
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>
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> $$ H(f) =
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> \begin{pmatrix}
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> \dfrac{ \partial f }{ \partial {x_1}^{2} } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_{n} } \\
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> \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_1 } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_{n} } \\
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> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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> \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_1 } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_{n} } \\
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> \end{pmatrix}
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> $$
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>
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> Le [[déterminant hessien]] permet de déduire des propriétés sur la fonction (points critiques)
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^definition
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> [!definition] Définition par rapport au [[gradient d'une fonction|gradient]]
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> Soit $\nabla f$ le [[gradient d'une fonction|gradient]] de $f$, on a :
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> $H_i(f) = \dfrac{ \partial \nabla f }{ \partial x_{i} }$
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> Soit :
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> $\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \left( \nabla f \right)_{j}$
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# Propriétés
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- [[déterminant hessien]]
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> [!proposition]+
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> Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ un ouvert
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> Soit $f : \Omega \to F$ [[différentielle seconde|deux fois différentiable]] en $x \in \Omega$
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> $\forall h, k \in \mathbb{R}^{n}$ on a :
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> $\mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \,^T\!h \cdot \operatorname{Hess}f(x) \cdot k = \left\langle h, \operatorname{Hess}(f) \cdot k\right\rangle$
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> Et d'après le [[théorème de schwarz]] on sait que $\operatorname{Hess}f$ est [[matrice symétrique|symétrique]], et donc que :
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> $\mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \left< h \cdot \operatorname{Hess}(f), k \right>$
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