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up:: [[norme]], [[produit scalaire]]
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sibling:: [[inégalité triangulaire]]
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title:: "$\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] inégalité de Minkowski
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$
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> Quels que soient $u$ et $v$ des vecteurs de $E$
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> On a :
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> $\boxed{\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|}$
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>
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> C'est une définition de l'[[inégalité triangulaire]] sur les normes.
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^definition
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# Démonstration
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![[inégalité triangulaire#Démonstration#$ a+b leq a + b $]]
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## Cas d'égalité
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$$\begin{align}
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\|x+y\| = \|x\| + \|y\| &\iff \|x\|^{2} + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^{2} = \|x\|^{2} + 2\cdot\|x\|\cdot\|y\| + \|y\|^{2} \\
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&\iff 2\langle x, y \rangle = 2\cdot \|x\|\cdot \| y\| \\
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&\iff \langle x, y \rangle = \|x\|\cdot \| y\|\\
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\end{align}$$
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On obtient une [[inégalité de cauchy schwartz#Cas d'égalité|égalité de Cauchy Schwartz]] sans la valeur absolue.
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C'est donc équivalent à avoir $x$ et $y$ [[vecteurs colinéaires|colinéaires]] et **de même sens** (car on a retiré la valeur absolue). |