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createdAt: '2022-09-23T09:52:01Z'
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updatedAt: '2022-09-23T10:27:58Z'
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filename: notions de base en maths.md
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isPublic: true
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# Ensembles
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## Notations
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- **Esembles par extension**
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- $\lbrace x \in E \mid \mathscr{P}(x) \rbrace$ est l'ensemble des $x$ dans $E$ _tels que_ la propriété $\mathscr{P}(x)$ est respectée
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- Exemples :
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- $\left\lbrace x \in \mathbb{N} \mid \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \right\rbrace$ : les nombres pairs
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- $\lbrace x \in \mathbb{R} \mid x^{2}=x+1 \rbrace$ : solutions de $x^{2}=x+1$ sur $\mathbb{R}$
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- $\left\lbrace x \in \mathbb{R} | \exists (n, k)\in \mathbb{Z}, x = \frac{n}{k} \right\rbrace$ ensemble des _rationnels_ : $\mathbb{Q}$
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- $A \subset B$ : $A$ est _contenu_ dans $B$
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- $\forall x \in A, x \in B$
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- $A \subsetneq B$ : $A$ est _strictement mais différent de_ $B$
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- $\forall x \in A, x \in B$ et $\exists x \in A, x \not\in B$
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- $A \cup B$ : $A$ _union_ $B$ : éléments qui sont dans $A$ _ou_ dans $B$
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- $\lbrace x | x \in A \text{ ou } x \in B \rbrace$
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- $A \cap B$ : $A$ _inter_ $B$ : éléments qui sont dans $A$ _et_ dans $B$
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- $\lbrace x | x \in A \text{ et } x \in B \rbrace$
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## Ensembles classiques
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- $\mathbb{N}$ : les entiers naturels : $\lbrace 0, 1, 2, 3, \dots \rbrace$
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- $\mathbb{Z}$ : les entiers _relatifs_ : $\lbrace \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \rbrace$
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- $\mathbb{Q}$ : les nombres _rationels_ (qui exprimables comme des fractions) : $\left\lbrace\dots \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{137}{42}, 4, -\frac{1}{12}, \dots \right\rbrace$
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- $\mathbb{R}$ : les nombres _réels_ (tous les nombres classiques) : $\left\lbrace \dots, \frac{\sqrt{ 3 }}{2}, \pi, 42, \frac{73}{67}, \dots \right\rbrace$
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- $\mathbb{C}$ : les nombres _complexes_ (avec $i^{2}=-1$) : $\left\lbrace \dots -2, i+3, \sqrt{ 2 }i+\frac{1}{3}, i-\pi, 73i+42\dots \right\rbrace$
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### Nombres complexes
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#### Définition
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On remarque que l'équation $x^{2}=-1$ n'a pas de solutions sur $\mathbb{R}$.
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On créé un nombre $i$ solution de cette équation : $i^{2}=-1$
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Ce nombre n'est donc pas un réel : on l'appelle le nombre _imaginaire_.
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l'ensemble des nombres _imaginaires_ (_imaginaires purs_), $\mathbb{I}$, est donc l'ensemble des $k\times i$ où $k \in \mathbb{R}$ : $\mathbb{I} = \lbrace k\times i \mid k \in \mathbb{R} \rbrace$
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L'ensemble des nombres _complexes_ regroupe $\mathbb{R}$, $\mathbb{I}$, et tous les nombres "composites" de la forme $a+ib$ où $a$ et $b$ sont réels.
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Donc : $\mathbb{R} = \lbrace a+ib\mid(a,b)\in\mathbb{R}^{2} \rbrace$
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**Note:** $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ et $\mathbb{I}\subset \mathbb{C}$ mais bien sûr $\mathbb{C} \neq \mathbb{R} \cup \mathbb{I}$ puisque, par exemple $i + 1$ est dans $\mathbb{C}$ mais ni dans $\mathbb{R}$, ni dans $\mathbb{I}$.
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#### Propriétés
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