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up::analyse, fonction #s/maths/analyse
La fonction indicatrice (ou caractéristique) est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l'appartenance ou non à un sous ensemble F de E de tout élément de E.
Formellement, la fonction indicatrice d'un sous-ensemble F d'un ensemble E est une fonction :
\begin{align}
I_F :& E \rightarrow \{0, 1\}\\
& x \mapsto \left\{\begin{gathered}
1 \text{ si } x\in F\\
0 \text{ si } x\notin F
\end{gathered}\right.
\end{align}
y = x
Notation
La fonction indicatrice de F peut être notée :
\chi_F1_F\mathbb1_FI_F
Propriétées
Soient A et B sont deux sous-ensembles de E
(A \subseteq B) \iff (\chi_A \leq \chi_B)\chi_{\overline A} = 1-\chi_A\chi_{A\cup B} = \min\{\chi_A, \chi_B\} = \chi_A\times\chi_B\chi_{A\cup B} = \max\{\chi_A, \chi_B\} = \chi_A+\chi_B-\chi_A\times\chi_B\chi_{A\Delta B} = \chi_A+\chi_B-2\chi_A\times\chi_B