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ev espaces vectoriels

up::espace title::"(E, +, \cdot) tel que", " - (E, +) est un groupe abélien", " - \cdot est distributivité sur $+$" #s/maths/algèbre

[!definition] Espace vectoriel Un espace vectoriel est un ensemble E muni de deux opérations :

• une loi de composition interne notée +
• une loi de composition externe notée \cdot

Soit K un corps

Ces deux opérations vérifient :

• (E, +) est un groupe abélien dont l'élément neutre est le vecteur nul 0_E
• (E, \cdot) est un monoïde (à gauche) dont l'élément neutre est 1
  • \displaystyle \forall\overrightarrow{u}\in E, \forall(\lambda, \mu) \in K^{2}, \left\{\begin{array}{l}(1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u})\\\text{et}\\(\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda\mu)\cdot u))\end{array}\right.
• Liens entre + et \cdot :
  • distributivité de \cdot par rapport à + sur E : \forall\lambda\in K, \forall(\vec v, \vec u)\in E^{2},\quad\lambda\cdot(\vec u+\vec v) = \lambda\cdot\vec u + \lambda\cdot\vec v
  • distributivité de \cdot par rapport à + sur \mathbb R : \forall(\lambda,\mu)\in K, \quad \forall\vec u\in E, (\lambda + \mu)\cdot\vec u = \lambda\cdot\vec u + \mu\cdot\vec u

\forall \vec{u} \in E, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbf{K}^{2}, \begin{cases}1 \cdot \vec{u} = \vec{u}\\ \text{ et }\\ \lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda \mu) \cdot u\end{cases}

Vocabulaire

On dit que (E, +, \cdot) est l'espace vectoriel E muni de + et de \cdot (la multiplication externe)

[!info] Espace vectoriel sur un corps Quand les valeurs de la multiplication sont les éléments d'un corps K, on dit que l'espace vectoriel est sur $K$ On note que c'est un K-ev ("K espace vectoriel")

[!info] Éléments Les éléments de E sont appelés vecteur Les éléments de K sont appelés scalaires

Exemples d'espaces vectoriels

• Les espaces \mathbb R, \mathbb R^2, \mathbb R^3, ... \mathbb R^n sont des espaces vectoriels (avec l'addition et la multiplication, et sur le corps \mathbb{R})
• L'ensemble des polynôme (sur \mathbb{R} ou \mathbb{C})
• L'ensemble des fonction dérivable (sur \mathbb{R} ou \mathbb{C})

Propriétés

• Le produit cartésien de deux espace vectoriel est toujours un espace vectoriel

[!smallquery]+ Sous-notes de $= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")

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