cours/corps.md

up::structure algébrique, anneau #s/maths/algèbre

[!definition] Corps Un ensemble K muni de deux lois + et \times est un corps ssi :

• (K, +) est un groupe abélien
  • + est associativité, commutativité
  • 0 est l'élément neutre pour +
  • tous les éléments sont éléments inversibles par +
• (K^{*}, \times) est un groupe (K^{*} = K \setminus \{ 0 \})
  • \times est associativité
  • 1 est l'élément neutre pour \times
  • tous les éléments de K^{*} sont éléments inversibles par \times
    • [!] 0 n'est pas inversible par \times
• \times est distributivité sur + (à droite et à gauche)
  • \forall (x; a; b) \in K^{3}, \quad x \times (a+b) = (a+b)\times x = (x \times a) + (x \times b) ^definition

[!definition] Corps - définition depuis un anneau Soit (A, +, \times) un anneau (A, +, \times) est un corps si \forall a \in A \setminus \{ 0 \},\quad \exists b \in A \setminus \{ 0 \},\quad ab = ba = 1_{A} Un tel b est noté a^{-1}

title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]

Propriétés

[!proposition]+ Idéaux d'un corps Soit (K, +, \cdot) un corps Ses seuls idéaux d'un anneau sont \{ 0 \} et K

[!démonstration]- Démonstration

• \{ 0 \} et K sont des idéaux d'un anneau de K
• Si I \neq \{ 0 \} est un idéal de K Donc \exists p \in I,\quad p \neq 0 Soit a \in K a = \underbrace{a p ^{-1}}_{\in K}\underbrace{p}_{\in I} or, I est ensemble absorbant, donc a \in I de là suit que K \subset I et donc que K = I

Ainsi, les seuls idéaux de K sont bien \{ 0 \} et K ^ideaux-dun-corps