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up: "[[boule]]"
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sibling: "[[boule ouverte]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[boule fermée]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> On appelle **boule ouverte** de centre $x_0 \in X$ et de rayon $r \geq 0$ la partie $\overline{B}(x_0, r)$ de $X$ définie par :
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> $\overline{B}(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) \leq r \}$
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^definition
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> [!idea] autres notations pour les boules fermées
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> $\overline{B}(x_0, r)$, $\overline{B}_{r}(x_0)$, $\overline{B}_{x_0}(r)$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Toute boule fermée est un [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> La [[boule fermée]] $\overline{B}(x_0, r)$ est un fermé de $X$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\overline{B}(x_0, n)$ qui converge vers $l \in X$
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> > On veut montrer que $l \in \overline{B}(x_0, r)$
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> > Pour cela, on utilise le fait que $d(x_0, x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty}d(x_0, l)$
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> > En effet, on a $\forall n \in \mathbb{N}, \quad d(x_0, x_{n}) \leq r$ car $x_{n} \in \overline{B}(x_0, r)$
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> > Donc, en passant à la limite, on a :
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> > $\begin{cases} d(x_0, l) \leq r\\ l \in X \end{cases}$
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> > Donc, $l \in \overline{B}(x_0, r)$
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# Exemples
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- = Voir [[Exemples de boules]]
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> [!example] Exemple pour la [[distance euclidienne]]
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> ![[boule fermée 2024-09-09 10.26.02.excalidraw|300]]
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^example
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