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up:: [[application continue]], [[application linéaire]]
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#s/maths/algèbre #s/maths/topologie
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> [!definition] [[application linéaire continue]]
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> Une [[application linéaire]] qui est aussi [[application continue|continue]].
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> On note $\mathcal{L}_{C}(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires continue de $E \to F$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ continuité des applications linéaires
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> Soient $(E, \|\cdot\|_{E})$ et $(F, \|\cdot\|_{F})$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] normés
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> Soit $f : E \to F$ une [[application linéaire]], alors on une équivalence entre :
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> 1. $f$ est continue
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> 2. $f$ est continue en $0_{E}$
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> 3. Il existe $C \geq 0$ tel que $\forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} \leq C\|x\|_{E}$
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> - I autrement dit, $\|f(\cdot)\|_{F} \leq C \|\cdot\|_{E}$ , c'est-à-dire que $f$ est inférieure (au sens des normes) à une fonction linéaire
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> $\text{1.} \iff \text{2.} \iff \text{3.}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - 1. $\implies$ 2.
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> > évident : si $f$ continue en chaque point alors elle est continue, en particulier, en $0_{E}$
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> > - 2. $\implies$ 3.
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> > Prenons $\varepsilon = 1$ dans la définition de la continuité de $f$ en $0_{E}$ :
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> > $\exists \eta >0,\quad \forall x \in E,\quad d_{E}(x, 0_{E}) < \eta \implies d_{F}(f(x), f(0_{E})) <1$
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> > c'est-à-dire $\forall x \in E,\quad \|x-0_{E}\|_{E} < \eta \implies \|f(x) - f(0_{E})\|_{F} < 1$
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> > donc, finalement : $\forall x \in E,\quad \|x\|_{E}<\eta \implies \|f(x)\|_{F} < 1$
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> > Soit $x \in E \setminus \{ 0 \}$ un vecteur quelconque
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> > considérons $\tilde{x} = \frac{\eta x}{2 \|x\|_{E}}$
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> > On a $\|f(\tilde{x})\|_{F} \leq 1$
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> > autrement dit, comme $x = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot\tilde{x}$
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> > $f(x) = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot f(\tilde{x})$
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> > et donc $\|f(x)\|_{F} = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot \underbrace{\|f(\tilde{x})\|_{F}}_{\leq 1}$
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> > $\|f(x)\|_{F} \leq \frac{2}{\eta}\|x\|_{E}$
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> > cette inégalité reste vraie si $x = 0_{E}$
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> > D'où là propriété 3. avec $C = \frac{2}{\eta}$
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> > - 3. $\implies$ 1.
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> > Soient $a \in E$ et $\varepsilon>0$
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> > on a $\forall x \in E,\quad \|f(x) - f(a)\|_{F} \leq C \|x - a\|$
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> > Donc, si $\eta = \frac{\varepsilon}{C}$ et si $d(x, a) = \|x-a\|_{E} < \eta$
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> > $\begin{align} d(f(x), f(a)) &= \|f(x) - f(a)\|_{F} \\&\leq C \|x-a\|_{E} \\&< C\eta = C \frac{\varepsilon}{\eta} \\&< \varepsilon \end{align}$
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> > Ce qui montre que $f$ est continue en $a$ pour tout $a \in E$
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![[espace vectoriel réel#^continuite-norme-infini]]
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# Exemples
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> [!example] Exemple d'application linéaire **non continue**
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> Sur $E = \mathbb{R}[X]$ ([[ensemble des polynômes]])
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> avec la norme $\|P\| = \sup_{x \in [0; 1]} |P(x)|$
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> Soit : $\begin{align} f: E &\to \mathbb{R}\\ P &\mapsto P'(1) \end{align}$
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> Alors, si $P = X^{n}$, $\displaystyle\|P\| = \sup_{x \in [0; 1]} |x| = 1$
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> Mais, $f(P) = P'(1) = n$
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> $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{|f(X^{n})|}{\|X^{n}\|} = \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{n}{1} = +\infty$
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> et
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> $\displaystyle\sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{|f(X^{n})|}{\|X^{n}\|} \leq \sup_{\substack{P \in \mathbb{R}[X]\\ P \neq 0_{\mathbb{R}[X]}}} \frac{|f(P)|}{\|P\|} = |\!|\!|f|\!|\!|$
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> Donc $\not\exists C \geq 0,\quad \forall P \in \mathbb{R}[X],\quad |f(P)| \leq C \|P\|$
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> et donc $f$ ne peut pas être continue
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> Même si l'espace d'arrivée est de dimension finie, on peut avoir des applications linéaires non continue
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