cours/ordre d'un groupe.md

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ordre

up::groupe #s/maths/algèbre

[!definition] L'ordre d'un groupe est le cardinal de son ensemble sous-jacent, c'est-à-dire le nombre d'éléments de ce groupe. Soit G un groupe, on note \#G son ordre ^definition

Propriétés

[!proposition]+ les groupes d'ordre premier sont cycliques Si \#G est un nombre premier, alors G est groupe cyclique (et donc groupe abélien). De plus, tout élément non trivial (\neq 1_{G}) engendre G

• ! Le contraire n'est pas vrai : si G est cyclique et x \in G \setminus \{ 1 \}, on a pas toujours \left< x \right> = G, par exemple, \left< \bar{2} \right> \subsetneqq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}

[!démonstration]- Démonstration Soit G un groupe Soit x \in G \setminus \{ 1 \} (un tel x existe, car \#G \geq 2) On sait qu'on a o(x) | \#G, voir: ordre d'un élément d'un groupe#^cbd28c puisque x \neq 1 on a o(x) \neq 1 donc o(x) = \#G puisque \#G est premier ainsi \left< x \right>=G par égalité des cardinaux Donc G est groupe cyclique et engendré par x

[!proposition]+ Soit G un groupe Soit x \in G un élément d'ordre fini Soit n \in \mathbb{N}^{*}

1. Si x^{n} = 1, alors o(x) | n
2. On a o(x^{n}) = \frac{o(x)}{\mathrm{pgcd}(n, o(x))}

[!démonstration]- Démonstration

1. On fait la division euclidienne de n par o(x) : n = q\cdot o(x) + r avec 0 \leq r < o(x) Ainsi, 1 = x^{n} = \left( x^{o(x)} \right)^{q}x^{r} = 1^{q}x^{r} = x^{r} Par minimalité de o(x), puisque o(x) = \min \{ k\geq 1 \mid x^{k}=1 \}, on sait que r = 0 de là suit que o(x) | n
2. Soit d := \mathrm{pgcd}(o(x), n) On a : \begin{align} (x^{n})^{\frac{o(x)}{d}} &= x^{\frac{n\cdot o(x)}{d}} \\&= \left( x^{o(x)} \right)^{\frac{n}{d}} & \text{car } \frac{n}{d} \in \mathbb{N}^{*} \\&= 1^{\frac{n}{d}} \\&= 1 \end{align} donc, o(x^{n}) | \frac{o(x)}{d} d'après (1.) Si, maintenant, k \geq 1 est tel que {(x^{n})}^{k} = 1, alors x^{nk}=1 donc o(x) | nk d'après (1.) donc \frac{o(x)}{d} | \frac{n}{d}k or, d = \mathrm{pgcd(o(x), n)}, donc \mathrm{pgcd\left( \frac{o(x)}{n}, \frac{n}{d} \right)} = 1 mais, comme \frac{o(x)}{d} | \frac{n}{d}k on a \frac{o(x)}{d} | k (par le théorème de Gauss) Ainsi, \frac{o(x)}{d} | o(x^{n}) et finalement, on a \frac{o(x)}{d} = o(x^{n}) car (x^{n})^{o(x^{n})} = 1, donc on peut prendre k = o(x^{n})

[!proposition]+ Soient x, y \in G respectivement d'ordre a, b \in \mathbb{N}^{*} si \begin{cases} x \text{ et } y \text{ commutent}\\ \text{et} \\ \mathrm{pgcd}(a, b) = 1 \end{cases} alors o(xy) = ab

• ! les hypothèses de commutativité et de coprimalité sont essentielles par exemple :
  • les éléments x et x ^{-1} commutent, mais o(x x ^{-1}) = o(1) = 1 \neq o(x)o(x ^{-1}) si x\neq 1
  • dans \mathfrak{S}_{3}, la transposition \sigma=(1, 2) est d'ordre 2 et le 3-cycle \rho := (1, 2, 3) est d'ordre 3, mais \mathfrak{S}_{3} ne possède pas délément d'ordre 3

[!démonstration]- Démonstration On a :

\begin{align} (xy)^{ab} &= x^{ab}y^{ab} & \text{car } x \text{ et } y \text{ commutent}\\ &= (x^{a})^{b} (y^{b})^{a}\\ &= 1^{b}1^{a} & \text{car } a = o(x) \text{ et } b = o(y) \\&= 1\cdot 1 \\&= 1 \end{align} \tag{a}

donc o(xy) | ab Soit, maintenant, k \geq 1 tel que (xy)^k = 1{} puisque x et y commutent on a x^{k}y^{k}=1 donc k^{k} = y ^{-k} or : - x^{k} \in \left< x \right> donc o(x^{k})| \#\left< x \right> = o(x) = a - y^{-k} \in \left< y \right> donc o(y^{-k})|\#\left< x \right> = o(y) = b en posant z:= x^{k} = y^{-k} on a donc o(z)|a et o(z)|b, donc o(z) = 1 car \mathrm{pgcd}(a, b) = 1 Ainsi, z = 1. On a donc : - x^{k} = 1 donc a = o(x) | k - y^{-k} = 1 \iff (y^{k})^{-1} = 1 \iff y^{k} = 1^{-1} = 1 donc b = o(x)|k Or \mathrm{pgcd}(a, b) = 1 donc ab|k Ainsi, ab|o(xy) et finalement ab=o(xy)

[!proposition]+ Lemme Soient p un nombre premier et n \in \mathbb{N}^{*} L'équation x^{n} = \overline{1} pour x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} possède au plus n solutions.

[!démonstration]- Démonstration via des divisions euclidiennes dans \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[[X]] (le groupe des polynômes sur \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) on montre que [X]^{n} - 1 = \mathop{\sqcap}\limits_{\substack{x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ x^{n} = 1}} ([X] - x) \times Q pour Q \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}([X]) d'où le résultat.

^5c3174

[!proposition]+ soit p un nombre premier le groupe \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} = \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right) \setminus \{ 0 \} est groupe cyclique

[!démonstration]- Démonstration Si p = 2, alors \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} = \{ 1 \} est sous groupe trivial, et donc cyclique On suppose donc p \geq 3 et on raisonne par l'absurde en supposant \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} non cyclique. On rappelle que \# \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} = p-1 Par disjonction des cas :

1. premier cas : \exists q \text{ premier et } \alpha \geq 1,\quad p-1 = q^{\alpha} Puisque \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} est non cyclique de cardinal q^{\alpha}, on sait que \forall x \in \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times},\quad o(x) \underset{\neq}{|}q^{\alpha} notamment, si o(x) = q^{\alpha} alors \#\left< x \right> = \#\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} donc \left< x \right>= \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} donc o(x)|q^{\alpha-1} car q est premier Ainsi, \forall x \in \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times},\quad x^{q^{\alpha-1}} = \overline{1} par le #^5c3174 , on sait que cette équation possède au plus q^{\alpha-1} solutions dans \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, ce qui est absurde car q^{\alpha-1} < q^{\alpha} = \#(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}
2. second cas : p-1 = q_{1}{}^{\alpha_1} \cdot q_{2}{}^{\alpha _{2}}\cdots q_{r}{}^{\alpha _{r}} avec r\geq 2, q_{i} premier, \alpha _{i}\geq 1 et \forall i\neq j,\quad q_{i} \neq q_{j} on va trouver un élément x_{i} \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} d'ordre q_{i}{}^{\alpha _{i}} pour tout i par la proposition précédente, puiqsue (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} est commutatif, et les q_{i}{}^{\alpha _{i}} sont premiers entre eux 2 à 2 (car q_{i} \neq q_{j} si i \neq j et q_{i} premier) on aura alors x := x_1 \cdot x_2 \cdots x_{r} d'ordre q_{1}{}^{\alpha _{1}}\cdots q_{r}{}^{\alpha _{r}} ce qui est impossible d'après le théorème de Lagrange, on sait que si x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} alors o(x) | p-1 = q_{i}{}^{\alpha _{i}} \sqcap_{i \neq j} q_{j}{}^{\alpha_{j}} si \exists x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times},\quad o(x) = q_{i}{}^{\alpha _{i}}k (pour k = \sqcap_{i\neq j}q_{j}{})

Exemples