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aliases, up, tags
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norme \mathcal{N}
- séparation:
\mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0 - absolue homogénéité:
\mathcal{N(\lambda x)} = |\lambda| \mathcal{N(x)} - inégalité triangulaire:
\mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)distanced d(x, y) = 0 \implies x = y(séparation)d(x, y) = d(y, x)(symétrie)d(x+x', y+y') \leq d(x, y) + d(x', y')
Soit (X, d) un espace métrique
- partie ouverte d'un espace métrique
- def
O \subset Xest ouvert ssi\forall x \in O,\quad \exists r>0,\quad B(x, r) \subset O- I tout point possède un voisinage dans O (voisinage = boule ouverte)
\emptysetetXsont des ouverts- Une réunion d'ouverts de
Xest un ouvert deX - Une intersection finie d'ouverts de
Xest un ouvert deX
- def
- partie fermée d'un espace métrique
- def
F \subset Xest fermé ssi\forall (x_{n}) \in X^{\mathbb{N}},\quad \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \in \mathbb{R} \implies \emptysetetXsont des fermés- Une intersection de fermés de
Xest un fermé deX - Une réunion finie de fermés de
Xest un fermé deX - def adhérence d'un espace métrique :
Soit
A \subset X
- def
A \text{ ouvert } \iff X \setminus A \text{ fermé}
V est un voisinage de x si \exists O \text{ ouvert},\quad x \in O \subset V
\mathcal{V}(x) l'ensemble des voisinages de x
V\in \mathcal{V}(x) \implies x \in V: tout voisinage dexcontientx- toute intersection finie de voisinage est un voisinage (une intersection infinie peut être réduite à
\{ x \})