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alias: ["th", "tangente hyperbolique"]
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up::[[trigonométrie]], [[fonctions]]
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properties::[[fonction impaire|impaire]], [[bijection|bijective]]
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derivative::$\dfrac{1}{\mathrm{ch}^{2}(x)}$
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description::"$\mathbb{R} \to [-1; 1]$", "$x \mapsto \dfrac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)} = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$"
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title::$\mathrm{th}$
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#maths/trigonométrie #maths/analyse
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La *tangente hyperbolique* est la [[fonction]] suivante :
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$\begin{align*} \mathrm{th} : & \mathbb{R} \to [-1; 1]\\ & x \mapsto \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} \end{align*}$
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ou bien, sous une autre forme :
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$\displaystyle\mathrm{th}(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$
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$\sin x + \cos x - \arccos \arg \mathrm{th} $
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```desmos-graph
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top=2.5
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left=-5; right=5
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bottom=-2.5
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width=400; height=200
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y = \tanh(x)
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```
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# Propriétés
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- $\mathrm{th}$ est une [[fonction impaire]]
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- dérivée : $\mathrm{th}'=\frac{1}{\mathrm{ch}^{2}}$
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