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up:: [[MOC ensembles]]
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title:: "$E^{F} = \prod\limits_{e \in E} F$ ([[produit cartésien]])"
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#maths/ensembles
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> [!definition] Exponentiation ensembliste
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> Soient $E$ et $F$ deux ensembles
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> On note $E^{F}$ l'ensemble des [[application|applications]] de $F \to E$
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> Formellement $E^{F} = \prod\limits_{e \in E} F$, un ensemble de [[famille|familles]] indexées ($\prod\limits$ représente des [[produit cartésien|produits cartésiens]])
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> alors $E^{F} = f(F)$
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^definition
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## Exemples
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- $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ est l'[[ensemble des suites]] réelles
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# Propriétés
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- $\left| E^{F} \right| = |E|^{|F|}$
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- $\emptyset^{E} = \emptyset$ si $E \neq \emptyset$ (cohérent avec les nombres)
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- pour tout $F$, il y a une seule application de $\emptyset \to F$, donc $F^{\emptyset}$ est toujours un singleton
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