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alias: [ "ensemble des formes linéaire", "espace dual", "espace vectoriel dual" ]
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up:: [[espace vectoriel]]
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title::
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#maths/algèbre
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> [!definition] ensemble des formes linéaire d'un espace vectoriel
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> On note $E^{*}$ l'ensemble des formes linéaires sur $E$
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> $E^{*}$ est appelé **espace dual de $E$**
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> On peut également utiliser la notation $\mathcal{L}(E, \mathbf{K})$ (l'[[ensemble des applications linéaires]] de $E \to \mathbf{K}$)
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^definition
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# Propriétés
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- $\dim E^{*} = \dim E$
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- Evident car une forme linéaire sur $E$ est une matrice de taille $1\times \dim E$, et donc $E^{*}$ peut être assimilé à $E$ par les matrices des formes linéaires
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- preuve : $\dim E* = \dim \left( \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) \right) = \underbrace{\dim E \times \dim K}_{\text{taille des matrices de } E^{*}} = \dim E \times 1 = \dim E$
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