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up:: [[norme]]
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title:: "$d(x, y) = \|y - x\|$"
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#maths/algèbre
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> [!definition] distance
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> Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
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> Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
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> On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
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> $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
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^definition
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> [!definition] distance (définition axiomatique)
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> Une fonction $d : E^{2} \to \mathbf{K}$ est une **distance** ssi :
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> - $d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
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> - $d(x, y) = 0 \iff x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
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> - $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$ ([[inégalité triangulaire]] )
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