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sr-due: 2022-09-05
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sr-interval: 15
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sr-ease: 286
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alias: ["applications linéaires", "linéaire", "linéaires"]
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up::[[application]]
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sibling::[[combinaison linéaire]]
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title::"$f(\lambda u+v) = \lambda f(u) + f(v)$"
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#maths/algèbre
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Soient $f$ une [[application]], et $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] réels,
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$f: E \mapsto F$ est _linéaire_ ssi :
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$\forall(u,v)\in E^{2}, \forall\lambda\in\mathbb{R},\;\;\; f(u+v) = f(u) + f(v) \;\;\wedge\;\; f(\lambda u) = \lambda f(u)$
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> [!definition] Application linéaire
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> Soient $E$ et $F$ deux $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]]
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> Soit $f: E \to F$ une [[application]]
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> $f$ est *linéaire* ssi :
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> - $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbf{K}, \quad f(u+v) = f(u) + f(v)\quad$ ([[application additive|additivité]])
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> - $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbf{K}, \quad f(\lambda u) = \lambda f(u) \quad$ ([[application homogène|homogénéité]])
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^definition
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# Autres définitions
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Soient $f$ une [[application]], et $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] réels,
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Une application $f: E \mapsto F$ est _linéaire_ ssi :
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$\forall (u, v)\in E^{2}, \forall\lambda\in\mathbb{R}, \quad f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$
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Une [[application]] $f$ est _linéaire_ ssi ses [[composition de fonctions|composées]] à gauche et à droite avec toute [[combinaison linéaire]] sont égales, soit si appliquer $f$ avant ou après une [[combinaison linéaire]] des vecteurs donne le même résultat
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# Exemples
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L'application $\begin{aligned} Id: & E\mapsto E\\ & u \mapsto u \end{aligned}$ est une _application linéaire_
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L'application $$\begin{aligned}
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f: & \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}\\
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& \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}
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\mapsto
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\begin{pmatrix}
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x + y\\
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x - y\\
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2x + 3y
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\end{pmatrix}
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\end{aligned}$$
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# Propriétés
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Soient $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] réels de dimension finie, et $f: E\rightarrow F$ une _application linéaire_, alors :
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- $\dim \ker f + \dim \mathrm{Im} f = \dim E$ ([[théorème du rang]])
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- $\dim$ la [[dimension d'un espace vectoriel]]
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- $\ker$ le [[Noyau d'une application linéaire]]
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- $\mathrm{Im}$ l'[[image d'une application linéaire]]
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- Lorsque $E = F$, $f$ est un [[endomorphisme]] de $E$ (un [[endomorphisme linéaire]])
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- alors $f$ est [[injection|injective]]
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- alors $\ker f = \{0_E\}$
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- alors $\dim\ker f = 0$
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- alors $\dim\mathrm{Im} f = \dim E$ (grâce au [[théorème du rang]])
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- alors $\mathrm{Im} f = E$
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- alors $f$ est [[surjection|surjective]]
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- D'où : si $f$ est un [[endomorphisme]] de $E$, $f$ est une [[bijection]]
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> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
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> ```dataview
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> LIST title
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> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
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> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
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> WHERE file != this.file
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> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up
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> ```
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